Question

5．设数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：2≤a²_n+1-a²_n≤3；
（Ⅱ）求证：$\frac{3n-1}{3n-2}≤\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}≤\frac{2n}{2n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简可得0＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤1，从而可得a_n+1²=a_n²+（$\frac{1}{{a}_{n}}$）²+2，从而证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n-1＜a_n+1²≤3n+1，从而可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$∈[$\frac{3n-1}{3n-2}$，$\frac{2n}{2n-1}$]．

解答 证明：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a_n≥1，0＜$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≤1；
∵a_n+1²=a_n²+（$\frac{1}{{a}_{n}}$）²+2，
∴a_n+1²-a_n²=2+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$∈[2，3]，
故$2≤{{a}^{2}}_{n+1}-{{a}^{2}}_{n}≤3$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n＜a_n+1²-a₁²≤3n，
所以2n-1＜a_n+1²≤3n+1，
当n=0时，上式也成立，
故$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$∈[$\frac{3n-1}{3n-2}$，$\frac{2n}{2n-1}$]．
故$\frac{3n-1}{3n-2}≤\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}≤\frac{2n}{2n-1}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及数列的性质的判断与应用，属于中档题．