Question

【题目】如图，在Rt中， ，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.

（1）求证：；

（2）当点为线段的靠近点的三等分点时，求与平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质可得 ，,翻折后垂直关系没变，仍有,平面 ，从而得； (2) 二面角的平面角，由余弦定理得,由勾股定理可得,两两垂直，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）

,翻折后垂直关系没变，仍有,

.

(2) , 二面角的平面角，

，又,由余弦定理得,

,,两两垂直.

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系.

则

设平面的法向量

由可得

.

故PC与平面PEF所成的角的正弦值为 .

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.