Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为离心率为，两准线之间的距离为8,点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率公式求得,由椭圆的准线方程,则，即可求得和的值，则，即可求得椭圆方程；（2）设点坐标，分别求得直线的斜率及直线的斜率，则可求得及的斜率及方程，联立求得点坐标，由满足椭圆方程，求得，结合在椭圆E上，联立即可求得点坐标.

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．

（2）由（1）知，，．设，因为为第一象

限的点，故．当时，与相交于，与题设不符．

当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的斜率为，直线的斜率为，

从而直线的方程，① 直线的方程，②

由①②，解得，所以．因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．又在椭圆E上，故．

由，解得；，无解．因此点P的坐标为．

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.