Question

【题目】已知，.

（1）若恒成立.求的最大值；

（2）若，取（1）中的，当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；

【解析】

（1）根据函数奇偶性可知为偶函数，根据时，恒成立可将问题转化为时，，恒成立，求；利用导数，分别在和两种情况下得到函数单调性，进而确定的范围，从而得到最大值；

（2）将所证不等式转化为证明当，，根据余弦函数和二次函数单调性可分别求得不等号左右两侧函数的最大值和最小值，由此可证得不等式成立，从而得到结论.

（1），为偶函数，

当时，恒成立，

故题意可为：，，若恒成立，求的最大值.

，，

①若，则恒成立，在单调递增，

又，有，，故在单调递增，

又，有恒成立，此时的最大值.

②若，则存在最小的正数，使成立，此时，

当时，，在单调递减，

又，有，，故在单调递减，

又，有，，故，不恒成立，

即无最大值.

综合①②可知，满足题意的最大值.

（2）由（1）知，，证明：，

即证：，，

，，

由，恒成立，有，

即证：，，

，，（*）

当时，的最大值为，

当时，的最小值为，

故（*）式恒成立，即证得恒成立.