Question

【题目】已知椭图：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为.当直线绕点旋转时，直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）是，证明见解析.

【解析】

（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出，，即可得到椭圆方程抛物线方程；

（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设，，，，，，求得直线的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．

解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，则：，

代入，得，即，所以，

则有，.

所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（2）依题意，当直线的斜率不为0时，设其方程为，

联立，得，

设，，则，由，解得或，

且，，

根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，此定点必在轴上，设此定点为，

因斜率，得，即，

即，即，

即，得，

由的任意性可知.

当直线的斜率为0时，直线的方程即为，也经过点，

所以当或时，直线恒过一定点.