Question

【题目】已知函数，其中．

（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；

（2）若函数有两个极值点，证明：成等差数列；

（3）若函数有三个零点，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由导数的几何意义可得解；

（2）由等差数列的判定，只需证明，代入运算即可；

（3）由导数的综合应用，求函数的单调性，再求函数的最值，解不等式即可得解.

解：（1）由函数在点处的切线方程为，

得 ，又，

即，

故；

（2）要证成等差数列，

只需证明，

又函数有两个极值点，则，

+=

= ，

命题得证；

（3）由函数有三个零点，

得，解得且有两个根为，

于是有 ，即，

有两个相异的实根，不妨设为，

①当时，，

函数在为减函数，在为增函数，

又

所以，

故不等式恒成立，

② 当时， ，

函数在为减函数，在， 为增函数，

由，

故=，

对于任意的，不等式恒成立，

于是，

又 ，

故，

令

，则 ，

解得，

解得，即，

即

综上可得的取值范围为．