Question

【题目】已知为坐标原点，圆，定点，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）已知点是曲线上但不在坐标轴上的任意一点，曲线与轴的焦点分别为，直线和分别与轴相交于两点，请问线段长之积是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点坐标为（-1,0），设过点的直线与相交于两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

试题（1）依题意可得：圆的圆心坐标为半径为，,则 .根据椭圆定义，是以,为焦点，长轴长为4的椭圆，由此即可求出的方程.（2）设直线方程为：，令得：，同理可得：，所以，因为点是上且不在坐标轴上的任意一点，所以，可得，因此的定值为4.（3）当点的坐标为（-1,0）时，点，,

设直线的方程为：， ,联立消并整理得：.解得：,

所以.所以的面积,.根据函数单调性，可得，所以当即直线的方程为：时，面积的最大值是.

试题解析：

（1）依题意可得：圆的圆心坐标为半径为，,

则 .

根据椭圆定义，是以,为焦点，长轴长为4的椭圆，

设其方程为：,

∴即，∴.

∴的方程为：.

（2）证明：设直线方程为：，

令得：，同理可得：，

所以.

因为点是上且不在坐标轴上的任意一点，所以

即,

所以，因此的定值为4.

（3）当点的坐标为（-1,0）时，点，,

设直线的方程为：， ,

联立消并整理得：.

解得：,

所以.

所以的面积,

.

∵，，∴在上为增函数,

∴，所以∴，

所以当即直线的方程为：时，面积的最大值是.