Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与交于，两点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程为；的直角坐标方程；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）消去参数即可求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得的直角坐标方程;

（Ⅱ）理解参数的几何意义并利用其几何意义,联立直线和曲线方程,利用韦达定理进行运算求解即可.

（1）由（为参数），消去参数，得，

即的普通方程为.

由，得，

将，代入，得，

即的直角坐标方程.

（2）由（为参数），可得（），

故的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率.

由题意知，当时，，

则与只有一个交点不符合题意，故.

把（为参数）代入，

得，设此方程的两根分别为，，

由韦达定理可得，，，

所以.