Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，试问过点可作的几条切线？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为（2）（3）当时，切线有一条；当时，切线有两条，详见解析

【解析】

（1）对求导得到，令，得到的范围，从而得到的单调区间；

（2）令，求导得到，令，分，，，研究的正负，即的正负，从而得到的单调性，再判断与的关系，从而得到的范围；

（3）切点为，利用导数的几何意义表示出过的切线，代入点坐标得到，令，分，讨论的正负，从而得到的单调性，再研究其零点，从而得到切点的个数和切线的条数.

解：（1）时，，

，

令，则，所以的单调减区间为.

（2）令，

，

令，∵，又，

①当时，，在上恒成立，

∴在上单调递减，成立；

②当时，，，，

∴在上单调递减，成立；

③当时，，∴在上有唯一零点，记为，

且在上递减，在上递增，

∴当时，，不成立.

综上：.

（3）设过的切线的切点为，则，

切线方程为，

又切线过，得，

即，

令，，

①当时，，在上递减，

由，，

所以只有一解，即切线只有一条；

②当时，令，，

由在上单调递减，在递增，

又，所以，

一方面：∵，

∵，又，∴，∴，

∴在上有零点；

另一方面：由（2）知对恒成立，

∴对恒成立，

∴当时，有

，

∴，又时，，∴，

∴在上有零点，故有两个零点，即切线有两条.

综上，当时，切线有一条；当时，切线有两条.