Question

【题目】设函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ) 求导得，分， ， 三种情况讨论可得的单调区间.

(Ⅱ)当时， 和可得所有的， ；

当时，易知上均有.

只需考虑时，此时，分和两种情况讨论即可.

试题解析：(Ⅰ) .

①当时， ，当时， ，

当时， .当时， .∴在递增

②当时，令，得，此时.

易知在递增， 递减， 递增

③当时， .易知在递增， 递减， 递增

(Ⅱ)当时， ，

①若时，可知，

②若时，由(Ⅰ)知在上单调递增，则有

因此，当时，对所有的， ；

当时，由(Ⅰ)可知易知在递增， 递减， 递增，

且，因此在上均有.

下面考虑时，此时

，其中， .

设，则

①若，则， ，而

∴，∴，即.

此时在递增，故；

②若，则

由①②可知，二次函数.

因此在时，总有.

综上，当时，对所有的, .

点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.