如图K459所示,在三棱柱ABC A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.
(1)证明:平面A1AC⊥平面AB1B;
(2)求棱AA1与BC所成角的大小;
(3)若点P为B1C1的中点,请求出二面角P AB A1的余弦值.
图K459
解:(1)证明:∵A1B⊥平面ABC,∴A1B⊥AC,
又AB⊥AC,AB∩A1B=B,∴AC⊥平面AB1B,
∵AC⊂平面A1AC,∴平面A1AC⊥平面AB1B.
(2)以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),C1(2,2,2),
(3)∵P为棱B1C1的中点,∴易求得P(1,3,2).
设平面PAB的一个法向量为n1=(x,y,z),
得令z=1,则n1=(-2,0,1),
而平面ABA1的一个法向量为n2=(1,0,0),
由题可知二面角P AB A1为锐角,
故二面角P AB A1的余弦值是.
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如图K441所示,空间四边形OABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则等于( )
图K441
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.a+b-c
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图K452所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,AA1,AB,CC1的中点分别为E,F,G,则EF与A1G所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
图K452
图K453
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知三棱锥O ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,E为OC的中点,且OA=1,OB=OC=2,则平面EAB与平面ABC所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图K4514所示,正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD.
(2)求二面角A1 BD A的大小.
(3)在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.
图K4514
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科目:高中数学 来源:2016届江西省高三上学期第三次考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数
(Ⅰ)求函数y = f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈[0,] 时,函数y=f(x)的最小值为 ,试确定常数a的值.
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科目:高中数学 来源:2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高一上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
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