Question

【题目】对于两条平行直线、(在下方)和图象有如下操作:将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象；将图象在直线上方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象:再将图在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象；再将图象在直线上方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图象；以此类推…；直到图象上所有点均在、之间(含、上)操作停止，此时称图象为图象关于直线、的“衍生图形”，线段关于直线、的“衍生图形”为折线段.

(1)直线型

平面直角坐标系中，设直线，直线

①令图象为的函数图象，则图象的解析式为

②令图像为的函数图象，请你画出和的图象

③若函数的图象与图象有且仅有一个交点，且交点在轴的左侧，那么的取值范围是_______.

④请你观察图象并描述其单调性，直接写出结果_______.

⑤请你观察图象并判断其奇偶性，直接写出结果_______.

⑥图象所对应函数的零点为_______.

⑦任取图象中横坐标的点，那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为（_______，_______），最低点坐标为（_______，_______）.

⑧若直线与图象有2个不同的交点，则的取值范围是_______.

⑨根据函数图象，请你写出图象的解析式_______.

(2)曲线型

若图象为函数的图象，

平面直角坐标系中，设直线，直线，

则我们可以很容易得到所对应的解析式为.

①请画出的图象，记所对应的函数解析式为.

②函数的单调增区间为_______，单调减区间为_______.

③当时候，函数的最大值为_______，最小值为_______.

④若方程有四个不同的实数根，则的取值范围为_______.

(3)封闭图形型

平面直角坐标系中,设直线,直线

设图象为四边形,其顶点坐标分别为,,,,四边形关于直线、的“衍生图形”为.

①的周长为_______.

②若直线平分的周长,则_______.

③将沿右上方方向平移个单位,则平移过程中所扫过的面积为_______.

Answer 1

【答案】（1）①；②函数图像见解析；③；④的单调递增区间为，，的单调递减区间为，；⑤偶函数；

⑥；⑦，；⑧

⑨

（2）①详图见解析；②增区间和，减区间和

③最大值为12，最小值为0；④

（3）①；②；③

【解析】

通过对“衍生图形”概念的理解，需要先定位两条平行直线、，随着平行直线的变化，“衍生图形”最终也会发生相应的变化。

解题过程中抓住两个核心：只要是第奇数次翻折，那么图像就要把位于下面的沿着向上翻折；只要是第偶数次翻折，图像就把位于上面的向下翻折，解题过程只要依据翻折的基本原理，结合函数的基本性质，逐步求解即可

首先对于（1）直线型

两平行直线为直线，直线

对①，当发生第一次翻折，的图像相当于把轴下方图像沿着轴向上翻折，此时应满足

对②，图像如图所示

对③，，图像恒过，又因与图像有且仅有一个交点，且交点在轴的左侧，如图所示

若只有一个交点，应满足

对④，根据图像，的单调递增区间为，

的单调递减区间为，

对⑤，图像关于轴对称，为偶函数

对⑥，图像对应的零点为：

对⑦，图像在上的最高点的坐标为，最低点的坐标为

对⑧，若直线与图象有2个不同的交点，由图像可知

则

对⑨，观察图像特点为偶函数，当，，当和时，，则

对于（2）曲线型

，所对应的解析式为

对①，图像如图所示

对②，函数的单调增区间为和，单调减区间为和

对③，当时候，函数的最大值为，最小值为

对④，④若方程有四个不同的实数根，即等价于与图像有四个交点

如图所示：

要使两函数图像有四个交点，应满足，解得

（3）封闭型曲线，根据题意先画出四边形的“衍生图形”，

对①，的周长为

对②，

要使被直线平分周长，则假设直线与交点为，与直线交点为，则应满足

直线方程为：，直线方程为：

联立直线得，

联立直线得，

由得，解得

对③，如图所示

平移之后扫过的面积应为