Question

【题目】如图，设抛物线与抛物线在第一象限的交点为，点A，B分别在抛物线，上，，分别与，相切.

（1）当点M的纵坐标为4时，求抛物线的方程；

（2）若，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当点M的纵坐标为4时，可得M的横坐标，代入方程可求，从而得到抛物线的方程；

（2）利用弦长公式求出，表示出面积，结合单调性可得面积的范围.

（1）由条件，且，解得，即点，

代入抛物线的方程，得，所以，

则抛物线的方程为.

（2）将点代入抛物线的方程，得.

设点，直线方程为，

联立方程，消去y，化简得，

则，解得，

从而直线的斜率，

解得，即点.

设点，直线方程为，

联立方程，消去x，化简得，

则，代入，解得，

从而直线的斜率为

解得，即点.

，

点到直线，即的距离为

，

故面积为，而，

所以面积的取值范围是.