Question

【题目】已知数列的前项和为，设.

（1）若，记数列的前项和为.①求证：数列为等差数列；②若不等式对任意的都成立，求实数的最小值；

（2）若，且，是否存在正整数，使得无穷数列，，，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；详见解析

【解析】

（1）①，，两式相减化简得，所以数列为等差数列；②先利用错位相减求出，由不等式对任意的都成立得到对任意恒成立，求出的最大值得解；（2）由题得当，时，

.假设存在，，，，…成等差数列，公差为，则，再对分两种情况讨论得解.

（1）①因为，，（i）

所以．（ii）

将（i）（ii），得，即．（iii）

所以，当，时，，（iv）

将（iii）（iv）得，

当，时，，

整理得，，即，

所以数列为等差数列．

②因为，令，2，得，

解得，，

结合①可知，，故．

所以，

，

两式相减，

得，

所以．

依题意，不等式对任意的都成立，

即对任意恒成立，

所以对任意恒成立．

令，

则，

所以当，2时，，即，

且当，时，，即

所以当时，取得最大值，

所以，实数的最小值为．

（2）因为，所以，即．

因为，所以，．

所以，，．

所以当，时，，．

假设存在，，，，…成等差数列，公差为．

则，

（ⅰ）若，则当，时，，

而，，所以与题意矛盾．

（ⅱ）若，则当，时，与题意矛盾．

所以不存在，使得无穷数列，，，…成公差不为0的等差数列．