Question

【题目】如图，为抛物线上的两个不同的点，且线段的中点在直线上，当点的纵坐标为1时，点的横坐标为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若点在轴两侧，抛物线的准线与轴交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意，当点的坐标为时，设点，则点，再将其代入抛物线方程解得即可；

（2）设直线的方程为，设，由线段的中点在直线上，可得，进而可得直线的方程为，再表示出直线的斜率，进而运算即可.

（1）由题意知，当点的坐标为时，设点，则点，

因为为抛物线上的两个不同的点，所以解得

所以抛物线的标准方程为.

（2）显然直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，

联立方程，得消去，化简并整理得.

则，即.

设，则，

所以，

故直线的方程为.

，

易知，所以，

所以.

因为，所以，当且仅当时取等号，所以.

故的取值范围为.