Question

【题目】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.

（1）已知，，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域.

（2）对于（1）中的函数和函数，若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）递减区间为，递增区间为，值域为；（2）

【解析】

（1）把函数解析式中的分母变形为，利用分式的计算公式，函数解析式变形为，用进行换元，得到新解析式为这样根据已知所给的函数性质可以求出函数的单调区间和值域.

（2）由题意可知的值域为的值域的子集，这样可以求出实数的值.

（1），

设，，则，则，，由已知性质得，

当，即时，单调递减，所以递减区间为，

当，即时，单调递增，所以递增区间为，

由，，，

得的值域为.

（2）由于为减函数，故，，由题意，的值域为的值域的子集，从而有所以.