Question

【题目】已知数列中， ，其前项和满足.

（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）设 ，求数列的前项和；

（3）设为非零整数，是否存在的值，使得对任意恒成立，若存在求出的值，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析， （2）（3）存在

【解析】试题分析：（1）Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+1，可得an+1=an+1（n≥2）．又a2-a1=1，即可证明{an}为等差数列．（2）由（1）知，即得（3）， ．对n分类讨论，利用数列的单调性即可得出．

试题解析：

（1）由已知得，即，

又也满足上式，

所以为等差数列，所以，公差，所以.

（2）由（1）知，所以.

（3）因为，所以，

要使恒成立，

则恒成立，

所以恒成立，

所以恒成立.

①当为奇数时，即恒成立，当且仅当时， 有最小值，所以.

②当为偶数时，即恒成立，当且仅当时， 有最大值，所以，

即，又为非零整数，则，

综上所述，存在，使得对任意，都有.