Question

【题目】已知函数f（x）的定义域是D，若存在常数m、M，使得m≤f（x）≤M对任意x∈D成立，则称函数f（x）是D上的有界函数，其中m称为函数f（x）的下界，M称为函数f（x）的上界；特别地，若“=”成立，则m称为函数f（x）的下确界，M称为函数f（x）的上确界． （Ⅰ）判断 是否是有界函数？说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）=1+a2x+4x（x∈（﹣∞，0））是以﹣3为下界、3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数 ，T（a）是f（x）的上确界，求T（a）的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= ﹣ = ， ∵x≥0，∴ + ≥1，
∴0＜f（x）≤1，函数f（x）是有界函数，
令t=3x ， 则t＞0，
∴y=t2﹣3t≥﹣1即g（x）∈[﹣1，+∞），
∴g（x）不是有界函数；
（Ⅱ）∵函数f（x）=1+a2x+4x ， （x∈（﹣∞，0））是以﹣3为下界，3为上界的有界函数，
∴﹣3≤1+a2x+4x≤3在（﹣∞，0）上恒成立，
即﹣2x﹣ ≤a≤ ﹣2x在（﹣∞，0）上恒成立，
令t=2x ， g（t）=﹣t﹣ ，h（t）=﹣t+ ，
∵x＜0，∴0＜t＜1，
设t1 ， t2∈（0，1），且t1＜t2 ，
则g（t1）﹣g（t2）= ＜0，
∴g（t）在（0，1）递增，
故g（t）＜g（1）=﹣5，∴a≥﹣5，h（t1）﹣h（t2）＞0，
∴h（t）在（0，1）上是减函数，
故h（t）＞h（1）=1，
∴a≤1，
综上，实数a的范围是[﹣5，1]；
（Ⅲ）由y= ，得：a2x= ，
∵x∈[0，1]，a＞0，
∴a≤a2x≤2a，
即a≤ ≤2a，
∴ ≤y≤ ，
故T（a）= =﹣1+ ，
∵a＞0，
∴T（a）的范围是（﹣1，1）
【解析】（Ⅰ）根据有界函数的定义分别求出f（x），g（x）的范围，从而判断是否有界即可；（Ⅱ）问题转化为﹣2x﹣ ≤a≤ ﹣2x在（﹣∞，0）上恒成立，令t=2x ， g（t）=﹣t﹣ ，h（t）=﹣t+ ，根据函数的单调性求出t的范围即可；（Ⅲ）求出a≤ ≤2a，根据 ≤y≤ ，得到T（a）= ，从而求出T（a）的范围即可．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．