Question

已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.

（1）若，抛物线的焦点与中点的连线垂直于轴，求直线的方程；

（2）设为小于零的常数，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点

 

Answer 1

（1）；（2）参考解析

【解析】

试题分析：（1）由题意可得通过假设直线方程联立抛物线方程，消去y可得一个一元二次方程，通过韦达定理写出根与系数的关系.由中点的横坐标等于抛物线的焦点坐标的横坐标可解出直线的斜率k的值.即可求出直线方程.

（2）由直线方程与抛物线的方程联立可得，关于点A,B的坐标关系，从而得到的坐标，写出直线B的方程.由于其中含有A,B的坐标值，通过整理成为的形式即可知道，直线恒过定点.

试题解析：（1）【解析】
由已知，抛物线的焦点坐标为.

设过点的直线的方程为，

由 得.

设，，则.

因为与中点的连线垂直于轴，所以，即.

解得 ，.

所以，直线的方程为.

（2）证明：设直线的方程为.

由 得，

则，且，即，且.

.

因为关于轴对称，所以，直线，

又 ，，所以，

所以 .

因为 ，又同号，，

所以 ，

所以直线的方程为，

所以，直线恒过定点.

考点：1.直线与抛物线的关系.2.对称性的问题.3.解方程的能力.4.过定点的问题.