Question

如图，在长方体中,，点是棱上的一个动点.

(1)证明:；

(2)当为的中点时，求点到面的距离；

(3)线段的长为何值时，二面角的大小为.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：解决立体几何中的垂直、距离及空间角，有几何法与空间向量法，其中几何法，需要学生具备较强的空间想象能力及扎实的立体几何理论知识；向量法，则要求学生能根据题意准确建立空间直角坐标系，写出有效点、有效向量的坐标必须准确无误，然后将立体几何中的问题的求解转化为坐标的运算问题，这也需要学生具备较好的代数运算能力.

几何法：（1）要证，只须证明平面，然后根据线面垂直的判定定理进行寻找条件即可；（2）运用的关系进行计算即可求出点到面的距离；（3）先作于，连接，然后充分利用长方体的性质证明为二面角的平面角，最后根据所给的棱长与角度进行计算即可得到线段的长.

向量法： (1)建立空间坐标，分别求出的坐标，利用数量积等于零即可；(2)当为的中点时，求点到平面的距离，只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；(3)设，因为平面的一个法向量为，只需求出平面的法向量，然后利用二面角为，根据夹角公式，求出即可.

试题解析：解法一：(1)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面， 4分

(2)等体积法：由已知条件可得，，，所以为等腰三角形

=， ，设点到平面的距离，根据可得，，即，解得 8分

(3)过点作于，连接

因为平面，所以，又，∩，所以平面

故，为二面角的平面角

所以，，，，

由可得， 14分

解法二: 以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系

设,则,
(1),,故；
(2)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ；
(3)设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去),

∴时,二面角的大小为.

考点：1.空间中的垂直问题；2.空间距离；3.空间角；4. 空间向量在立体几何中应用.