Question

【题目】已知离心率为的椭圆，经过抛物线的焦点，斜率为1的直线经过且与椭圆交于两点．

（1）求面积；

（2）动直线与椭圆有且仅有一个交点，且与直线，分别交于两点，且为椭圆的右焦点，证明为定值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由得出（0,1），结合椭圆离心率，解得，即可得出椭圆标准方程，从而得出直线方，联立求出交点和的坐标，利用两点间的距离公式求出和点到直线的距离求出，即可得出的面积.

（2）设直线方程为，联立直线和椭圆方程，得，根据，求得，从而求得坐标，利用两点间的距离求出和，即可求得，

解：（1）由题意可知：抛物线的焦点坐标为：（0,1），

，解得，

椭圆方程为，

直线的方程为，

联立，整理得，

解得，，

则（0,1），，

,

原点到直线的距离，

.

所以面积为.

（2）由题可知，直线斜率存在，设直线方程为，

联立，整理得，

直线与椭圆有且仅有一个交点，

，

整理得，

由题可得，，，

=.

所以为定值.