Question

【题目】已知函数,.

(1)若曲线在处的切线方程为,求的值；

（2）在(1)的条件下,求函数零点的个数；

（3）若不等式对任意都成立,求a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)两个；(3).

【解析】

(1)对函数求导,根据导数的几何意义,结合切线方程可以求出的值,最后计算即可；

(2)由(1)求出函数的单调性,根据零点存在原理,可以判断出函数零点的个数；

(3)设,对它进行求导,根据的不同取值,分类讨论判断出函数的单调调性,根据函数的最值情况求出a的取值范围.

(1),

由题意，,,解得，,,所以.

(2)由(1)知,,

令，得,

且当时,；当时,，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

因为,,，函数在区间和上的图象是一条不间断的曲线,由零点存在性定理,

所以函数有两个零点.

(3)设,即，，

，

当时，，所以函数在单调递减，

所以最小值为，不合题意；

当时，，

令，得.

若，即时，函数在单调递减；

所以最小值为，只需，即，

所以符合；

若，即时，函数在上单调减，在上单调增，

所以的最小值为，

所以符合.

综上,a的取值范围是.