Question

设等差数列{a_n}的公差为d,点(a_n,b_n)在函数f(x)=2^x的图象上(n∈N^*).

(1)若a₁=-2,点(a₈,4b₇)在函数f(x)的图象上,求数列{a_n}的前n项和S_n;

(2)若a₁=1,函数f(x)的图象在点(a₂,b₂)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{}的前n项和T_n.

Answer 1

解:(1)由已知,b₇=,b₈==4b₇,有=4×=,则a₈=a₇+2,

解得d=a₈-a₇=2.

所以,S_n=na₁+d=-2n+n(n-1)=n²-3n.

(2)由f(x)=2^x,f′(x)=2^xln 2,

过点(a₂,b₂),即(a₂,),

斜率为 ln 2,则

函数f(x)=2^x在(a₂,b₂)处的切线方程为

y-=(ln 2)(x-a₂),

它在x轴上的截距为a₂-.

由题意,a₂-=2-,

解得a₂=2.

所以,d=a₂-a₁=1.

从而a_n=n,b_n=2ⁿ,

所以T_n=+++…++,

2T_n=+++…+.

因此,2T_n-T_n=1+++…+-=2--=.

所以,T_n=.