Question

【题目】已知数列的前项和为且满足，数列中，对任意正整数

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比的值，若不存在，请说明理由；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）见解析

【解析】试题分析：

(1)由通项公式与前n项和的关系可得数列的通项公式为；

(2)假设存在满足题意的实数 ，利用等比数列的定义得到关于 的方程，解方程可得；

(3)求得数列的前n项和，分类讨论n的奇偶性即可证得题中不等式的结论.

试题解析：

(1)当时， ，

当时， ，

即，

也适合，所以.

(2)法一：

假设存在实数，使数列是等比数列，且公比为.

因为对任意正整数,，

可令n=2,3,得 .

因为是等比数列，所以

， 解得

从而 （）

所以存在实数，公比为.

法二：

因为对任意整数,， 所以，

设 ，则，

所以存在，且公比.

(3)因为，所以 ，

所以，即，

于是

当是奇数时: ，关于递增，

得 .

当是偶数时: ,关于递增,

得 .

综上， .