Question

【题目】已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）设，且函数的解析式可以表示成，当函数有且只有一个零点时，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上为减函数，在上为增函数；（2）或

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）先化简可得g（t）＝et﹣at，令g（t）＝et﹣at＝0，分离参数，构造函数，利用导数求其最值即可求出a的取值范围．

（1）函数的定义域为，当时，f（x）＝xex﹣e（lnx+x），

，故0＜x＜1时，f（x）＜0，x＞1时，f（x）＞0，

故f（x）的减区间是（0，1），增区间是（1，+∞）；

（2）∵t＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增，且t∈R，∴et＝elnx+x＝xex，

∴f（x）＝xex﹣a（lnx+x）＝et﹣at＝g（t），∴g（t）＝et﹣at，t∈R，

∴g（t）＝et﹣at＝0，

当t＝0时，不满足，

当t≠0， ，令 ，∴ ，

当t＜0或0＜t＜1时，h（t）＜0，函数h（t）在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，

当t＞1时，h（t）＞0，函数h（t）在（1，+∞）上单调递增，

当t＞0时，h（t）min＝h（1）＝e，当t→0或t→+∞时，h（t）→+∞，

当t＜0时，h（t）在（﹣∞，0）上单调递减，当t→﹣∞时，h（t）→0，

∵函数g（t）有且只有一个零点，∴a＜0或a＝e．