Question

【题目】在直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，l与C交于M，N两点.

（1）求C的直角坐标方程和的取值范围；

（2）求MN中点H的轨迹的参数方程.

Answer 1

【答案】（1）；或（2）（为参数，且或）.

【解析】

（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．

（2）利用直线的垂直的充要条件的应用求出结果．

解：(1)C的直角坐标方程为，

即，是以原点为圆心的单位圆

当时，显然直线l与曲线C相离，不合题意.

∴，所以直线l的斜率存在.

∴直线l的方程可写为

∵直线l与曲线C交于M，N两点，

∴圆心O到直线l的距离，

解得

∴或.

(2)(法一)直线l的参数方程为

(t为参数，或)

设M，N，H对应的参数分别为，，，则，

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：

∴，∴，

又点H的坐标满足，

(t为参数，或)

∴点H的轨迹的参数方程为

即(为参数，或)

(法二)

设点，则由可知，

当时有

即，整理得

当时，点H与原点重合，也满足上式.

∴点H的轨迹的参数方程为

(为参数，且或).