Question

如图,三棱柱ABCA₁B₁C₁中,侧面BB₁C₁C为菱形,B₁C的中点为O,且AO⊥平面BB₁C₁C.

(1)证明:B₁C⊥AB;

(2)若AC⊥AB₁,∠CBB₁=60°,BC=1,求三棱柱ABCA₁B₁C₁的高.

Answer 1

 (1)证明:连接BC₁,则O为B₁C与BC₁的交点.

因为侧面BB₁C₁C为菱形,

所以B₁C⊥BC₁,

又AO⊥平面BB₁C₁C,

所以B₁C⊥AO,由于BC₁∩AO=O,

故B₁C⊥平面ABO.

由于AB⊂平面ABO,

故B₁C⊥AB.

(2)解:作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,

作OH⊥AD,垂足为H,

由于BC⊥AO,BC⊥OD,且AO∩OD=O,

故BC⊥平面AOD,

所以OH⊥BC.

又OH⊥AD,且AD∩BC=D,

所以OH⊥平面ABC.

因为∠CBB₁=60°,

所以△CBB₁为等边三角形,

又BC=1,

可得OD=.

因为AC⊥AB₁,

所以OA=B₁C=.

由OH·AD=OD·OA,

且AD==,

得OH=.

又O为B₁C的中点,

所以点B₁到平面ABC的距离为,

故三棱柱ABCA₁B₁C₁的高为.