Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）当时，分别求函数的最小值和的最大值，并证明当时， 成立；

（3）令，当时，判断函数有几个不同的零点并证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）函数只有1个零点.

【解析】试题分析：（1）转化为导数恒小于等于零，构造函数，利用根的分布即可求出；（2）分别求出两函数的导数，利用导数求最值；（3）分离函数，求导数，分析函数单调，再根据零点的存在性定理证明即可.

试题解析：

（1）由题意得在上恒成立，

令，有即

得，所以.

（2）由题意可得

令，则， ，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时， 取最小值3.

，令，得，

当， ， 在上单调递增，

所以，

因为当时， ，

所以当时， .

（3）因为，

所以，

其定义域为，

，

因为，所以，所以在上单调递减，

因为，所以， ，

所以，

又，所以函数只有1个零点.