Question

【题目】已知函数在处取得极小值.

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不是的根.

【解析】试题分析：（1）先求导数,再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立,因为,利用，

得,所以=0,转化为.其中，最后利用导数研究函数单调性,确定方程解的情况

试题解析：（1）因为，

所以，

因为函数在处取得极小值，

所以，即，

所以，

所以，

当时， ，当 时，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以在处取得极小值，符合题意.

所以.

（2）由（1）知函数.

∵函数图象与轴交于两个不同的点，（ ），

∴，

.

两式相减得

.

.

下解.

即.

令，∵，∴，

即.

令，

.

又，∴，

∴在上是増函数，则，

从而知，

故，即不成立.

故不是的根.