Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，分别在其左、右焦点，在椭圆上任意一点，且的最大值为1，最小值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，直线是与椭圆交于两点的任意一条直线，若，证明直线过定点．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程组求解；(2)依据题设运用直线与椭圆的位置关系探求．

试题解析：

（1）设椭圆方程为，为椭圆上任意一点，

所以，，所以

，…………………………………………2分

又因为，所以

．……………………4分

因为，所以，因此，所以，

因此，

所以椭圆方程为…………………………6分

（2）①若直线不垂直于轴，设该直线方程为，，

由，得，

化简得，

所以，，…………………………7分

．………8分

因为，所以，

所以，

所以，

去分母得

即．…………………………10分

，所以或，

当时，过定点，显然不满足题意；

当时，过定点．

②若直线垂直于轴，设与轴交于点，由椭圆的对称性可知为等腰直角三角形，所以，化简得，

解得或2（舍），即此时直线也过定点．

综上直线过定点．…………………………13分