Question

【题目】如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面平面，，，分别是棱，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，交于点，可证明，.从而有平面.

同理，平面.得面面平行后可得线面平行；

（2）以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值．

（1）连接，交于点，连接，.

由四边形是菱形知是、中点.

因为，分别是棱，的中点，所以，.

又因为平面，平面，所以平面.

同理，平面.

因为，所以平面平面，

因为平面，所以平面.

（2）因为，，是中点，所以，，

因为平面平面，两平面的交线为，所以平面，

因为是菱形，边长为2，所以，，，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，则

所以，取，则，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.