1、已知x、y是正变数，a、b是正常数，且=1，x+y的最小值为__________.

解析：令=cos²θ，=sin²θ，则x=asec²θ，y=bcsc²θ，∴x+y=asec²θ+bcsc²θ=a+b+atan²θ+bcot²θ≥a+b+2.答案：a+b+2

2、设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.

解析：由0≤|a－d|＜|b－c|(a－d)²＜(b－c)²(a+b)²－4ad＜(b+c)²－4bc

∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc

3、已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a²，b)，g(x)＞0的解集是(，)，

则f(x).g(x)＞0的解集是__________.

解析：由已知b＞a²∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a²)，g(x)＜0的解集是(－).由f(x).g(x)＞0可得：

　

∴x∈(a²，)∪(－，－a²)答案：(a²，)∪(－，－a²)

4、已知关于x的方程sin²x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________.

原方程可化为cos²x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t²－2t－a－1=0，原问题转化为方程t²－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t²－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a∈［－2，2］.答案：［－2，2］

5、已知函数f(x)=　(b＜0)的值域是［1，3］，则b=　　　　 c=　　　　 。

解：设y=，则(y－2)x²－bx+y－c=0　　 　 ①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b²－4(y－2)(y－c)≥0，即4y²－4(2+c)y+8c+b²≤0　 ②

由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y²－4(2+c)y+8c+b²=0的两根

∴c=2，b=－2，b=2(舍)

6、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，

则P点坐标是_________.

解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.答案：P(5，6)

7、自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与

圆x²+y²－4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________.

解析：光线l所在的直线与圆x²+y²－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切.

答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0

8、函数f(θ)=的最大值为_________，最小值为_________.

解析：f(θ)=表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率.答案：　 0

9、设不等式2x－1＞m(x²－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x的范围为_________.

原不等式变为(x²－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x²－1)m+1－2x,－2≤m≤2,

则f(－2)＜0,且f(2)＜0.答案：

10、已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是　　　　　 。

解析：∵|PF₁|+|PF₂|=2a,|PQ|=|PF₂|,∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a,

即|F₁Q|=2a,∴动点Q到定点F₁的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.

11、设A₁、A₂是椭圆=1的长轴两个端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为　　　　　　 。

解析：设交点P(x,y),A₁(－3,0),A₂(3,0),P₁(x₀,y₀),P₂(x₀,－y₀)

∵A₁、P₁、P共线，∴∵A₂、P₂、P共线，∴

解得x₀=

12、△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________.

解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,

∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.

答案：

13、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(　　 )

解析：由题意，可设椭圆方程为：　=1,且a²=50+b², 即方程为=1.

将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.

由x₁+x₂=1可求得b²=25,a²=75.答案：C

14、抛物线y=ax²与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x₁,x₂,直线与x轴交点的横坐标是x₃,则恒有(　　 )

A.x₃=x₁+x₂ 　B.x₁x₂=x₁x₃+x₂x₃ C.x₁+x₂+x₃=0 D.x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=0

解析：解方程组,得ax²－kx－b=0,可知x₁+x₂=,x₁x₂=－,x₃=－,

代入验证即可.答案：B

15、已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于(　　 )

A.3　　　　　　 B.　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　 D.

解析：由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d=.

∵m∈(1,4),∴当时，S_△ABC有最大值，此时m=.答案：B

16、直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

解析：所求椭圆的焦点为F₁(－1,0),F₂(1,0),2a=|PF₁|+|PF₂|.欲使2a最小，只需

在直线l上找一点P.使|PF₁|+|PF₂|最小，利用对称性可解.答案：　=1

17、双曲线=1(b∈N)的两个焦点F₁、F₂，P为双曲线上一点，

|OP|＜5,|PF₁|,|F₁F₂|,|PF₂|成等比数列，则b²=_________.

解析：设F₁(－c,0)、F₂(c,0)、P(x,y),则|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),

即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|.|PF₂|,

依双曲线定义，有|PF₁|－|PF₂|=4,依已知条件有|PF₁|.|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²

∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.答案：1

18、正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y²=x上，

则正方形ABCD的面积为_________.

解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y²=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，

利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，

再代入求出|CD|的长. 答案：18或50

19、A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使

∠OPA=,则椭圆离心率的范围是_________.

解析：设椭圆方程为=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x²－ax+y²=0,两式联立消y得x²－ax+b²=0.即e²x²－ax+b²=0,该方程有一解x₂,一解为a,

由韦达定理x₂=－a,0＜x₂＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.答案：＜e＜1

20、已知抛物线y=x²－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，

BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.

解析：设P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)∵BP⊥PQ,∴=－1,即t²+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0.即s²+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥1.

21、设f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：

x²+≤f(x)≤2x²+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.

解：由f(1)=得a+b+c=，令x²+=2x²+2x+x=－1，由f(x)≤2x²+2x+推得

f(－1)≤.由f(x)≥x²+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，

故2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax²+x+(－a).依题意：ax²+x+(－a)≥x²+

对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)²≤0，

∴f(x)=x²+x+1易验证：x²+x+1≤2x²+2x+对x∈R都成立.

∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x²+≤f(x)≤2x²+2x+对一切x∈R都成立.

22、已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)

23、已知圆C₁的方程为(x－2)²+(y－1)²=,椭圆C₂的方程为=1(a＞b＞0)，C₂的离心率为，如果C₁与C₂相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C₁的直径，求直线AB的方程和椭圆C₂的方程.

解：由e=,可设椭圆方程为=1,又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=4,y₁+y₂=2,

又=1,两式相减，得=0,

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+2(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0.化简得=－1,

故直线AB的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x²－12x+18－2b²=0.

有Δ=24b²－72＞0,又|AB|=,

得，解得b²=8.故所求椭圆方程为=1.

24、已知抛物线y²=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p. (1)求a的取值范围.

(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.

解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)²=2px,即x²－2(a+p)x+a²=0

∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p²≤p²,即4ap≤－p²

又∵p＞0,∴a≤－.

(2)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB的中点 C(x,y),

由(1)知，y₁=x₁－a,y₂=x₂－a,x₁+x₂=2a+2p,

则有x==p.

∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0)

点N到AB的距离为

从而S_△NAB=

当a有最大值－时，S有最大值为p².

25、已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A₁与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程.

(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.

解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.

即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).

∴a==b,所求双曲线C的方程为x²－y²=2.

(2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1,依题意B点在平行的直线l′上，

且l与l′间的距离为.

设直线l′：y=kx+m,应有,化简得m²+2km=2.　　　　　　　　 ②

把l′代入双曲线方程得(k²－1)x²+2mkx+m²－2=0,

由Δ=4m²k²－4(k²－1)(m²－2)=0.可得m²+2k²=2　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

②、③两式相减得k=m,代入③得m²=,解设m=,k=,此时x=,y=.故B(2,).