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4、(江苏版第62页习题7)(1)已知数列的通项公式为,求前项的和;(2)已知数列的通项公式为,求前项的和.
变式题1、已知数列的通项公式为=,设,求.
解:==2(-).
=2[(-)+(-)+(-)+……+(-)+(-)]=2(+--).
变式题2、数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*),
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设,是否存在最大的整数m,使得任意的n均有总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)∵an+2-2an+1+an=0,∴an+2-an+1=an+1-an(n∈N*),
∴{an}是等差数列,设公差为d,
∵a1=8,a4=a1+3d=8+3d=2,∴d=-2,
∴an=8+(n-1).(-2)=10-2n.
(Ⅱ)
假设存在整数m满足总成立,
又
∴数列{}是单调递增的,
∴为的最小值,故,即m<8,又m∈N*,
∴适当条件的m的最大值为7.
点评:数列求和的裂项相消法:适用于通项公式形如的数列,其中是各项不为0的等差数列,c为常数.