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8、平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,-2),点C满足 、
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与椭圆交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于,求椭圆实轴长的取值范围.
解:(1)设
即点C的轨迹方程为x+y=1 。
(2) 得:(a2+b2)x2-2a2x+ a2- a2b2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则“
x1+ x2=, x1x2=
因为以MN为直径的圆过原点为,
所以=0,即x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+ x2)+2 x1x2=1-+2=0
即a2+b2-2 a2b2=0
∴
(3)
∴椭圆实轴长的取值范围是(0,。