1、已知函数y=满足,且方程=0有n个实根x1,x2,…xn,则x1+x2+…+xn= 3n 。
解:由可得y=的图像图像关于x=3对称。
当n为偶数时,方程=0有n个实根x1,x2,…xn两两成对出现,且成对两根之和为6,
所以x1+x2+…+xn=6×=3n
当n为奇数时,方程=0有n个实根中必有一根为3,其余n-1个根两两成对出现,且成对两根之和为6,所以x1+x2+…+xn=3+3(n-1)=3n
故x1+x2+…+xn=3n。
2、对一个各边不等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.则共有 30 种不同的染色方法。
解:记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤
第一步:将五边分成三组且相邻边不在同一组,则有
①、②④、③⑤ ②、①④、③⑤
③、①④、②⑤ ④、①③、②⑤
⑤、①③、②④
故共有五组
第二步:将三种颜色对应三组进行全排列A=6
由分步计数原理得共有5×6=30种。
3、如图1,设P、Q为△ABC内的两点,且, =+则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ( B )
A. B. C. D.
图1 图2
解:如图2设,则由平行四边形法则知NP∥AB,所以=,同理可得。
故即选B.
4、设x>1,S=min{logx2,log2(4x3)}则S的最大值为 3 。
解:由题设知S logx2,S log2(4x3),且S>0则
S log2(4x3)=2+3log2x=2+2+,
于是S2-2S-30得-1S3当x=时取等号。
5、在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),C点在AB上且OC是∠AOB的角平分线,则= (-,) 。
解:由题设知=(0,1),=(-3,4)
OC是∠AOB的角平分线
可设=()=+
又C点在AB上
所以+=1解得=
故=+=(-,)
6、在十进制中,若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外,其余各个数字都小于其左边的数字时,则称它为递降正整数.所有这样的递降正整数的个数为(D )
(A)1001 (B)1010 (C)1011 (D)1013
解:当正整数为两位数时,有个
当正整数为三位数时,有个
………
当正整数为十位数时,有个
由分类计数原理得共有正整数++…+=210--=1013
故选D。
7、已知,设,记
(1)求证:tan=2tan
(2)求 的表达式;
(3)定义正数数列{an};a1=2,=2(n)。
试求数列的通项公式。
解:(1)由,得sin=3sin ,即
sincos=2cossin
故tan=2tan
(2)由tan=2tan得 即。解得
y=故=
(3)因为=2=2,
所以=+1即-2=(-2)
因此{-2}是首项为2,公比为的等比数列。
所以-2=2故an=。
8、平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,-2),点C满足 、
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与椭圆交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于,求椭圆实轴长的取值范围.
解:(1)设
即点C的轨迹方程为x+y=1 。
(2) 得:(a2+b2)x2-2a2x+ a2- a2b2=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则“
x1+ x2=, x1x2=
因为以MN为直径的圆过原点为,
所以=0,即x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+ x2)+2 x1x2=1-+2=0
即a2+b2-2 a2b2=0
∴
(3)
∴椭圆实轴长的取值范围是(0,。