15. （本题满分14分）已知向量，若，且

    （I）试求出和的值；    （II）求的值。

16. （本题满分14分）已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD.

   （1）证明：平面PAD⊥平面PCD；  （2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分几何体的体积之比。

17. （本题满分15分）设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且.   

⑴求椭圆C的离心率；    ⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.

18. （本题满分15分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区。已知，且，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段。如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km²）

19. （本题满分16分）已知数列{a_n}中，a₁＝，点(n，2a_n＋1－a_n)(n∈N^*)在直线y＝x上，（1）计算a₂，a₃，a₄的值；（2）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求证：数列{b_n}是等比数列；（3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ．的值；若不存在，请说明理由．

20. （本题满分16分）设、是函数的两个极值点.

（I）若，求函数的解析式；

（II）若，求的最大值;

（III）设函数，，当时，

求证：

第Ⅱ卷附加题部分

附加题部分包含选做题（从4题中选做2题）、必做题（共2题），满分40分，考试时间30分。

1.选修4-1几何证明选讲

如图，已知为圆O的直径，直线与圆O相切于点，直线与弦垂直并相交于点，与弧相交于，连接,,.

（1）求证：;

（2）求。

2.选修4-2：矩阵与变换

设数列满足，且满足，试求二阶矩阵。

3.选修4-4：坐标系与参数方程

求经过极点三点的圆的极坐标方程。

4.选修4-5：不等式选讲

已知实数满足，试证明。

5．（本小题满分10分）已知数列中，a_n=n（n+1）（n+2）.又S_n=kn（n+1）（n+2）（n+3），试确定常数k，使S _n恰为的前n项的和，并用数学归纳法证明你的结论.

6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，设事件表示“五位数为奇数”，事件表示“万位上的数字为2或4”。

（1）试通过计算说明：事件和是否为相互独立事件？

（2）求。

数学模拟试卷答案

1．   2． 80   3．    4．1－i   5．  6．m＝0，n＝1     7．15

8．  9．2550  10．①  ③    11．（1）、（2）、（3） 12．－2008   13．

14．72

15、解：解：（I）       

    即             

    （II）     

    又            

16、解：（1）证明：依题意知：

   （2）由（I）知平面ABCD

       ∴平面PAB⊥平面ABCD.                       

     在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，

       设MN=h

       则

       要使

       即M为PB的中点.

17、 ⑴解：设Q（x₀，0），由F（-c，0）

A（0，b）知

    设，

得

因为点P在椭圆上，所以

整理得2b²=3ac，即2(a²－c²)=3ac，,故椭圆的离心率e=

⑵由⑴知， 于是F（－a，0） Q，

△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a

所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为

18、解：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为，且C（4，2）

故曲线段OC的方程为

设是曲线段OC上的任意一点，则在矩    形PQBN中，

    工业区面积      

    ，令得

    当时，，S是y的增函数

    当时，，S是y的减函数           

    时，S取到极大值，此时

    ，故       

    时，         

    所以，把工业园区规划成长为，宽为的矩形时，

    工业园区的面积最大，最大面积约为        

19、解：(1)由题意，2a_n＋1－a_n＝n，又a₁＝，所以2a₂－a₁＝1，解得a₂＝，

同理a₃＝，a₄＝．

(2)因为2a_n＋1－a_n＝n，所以b_n＋1＝a_n＋2－a_n＋1－1＝－a_n＋1－1＝，

b­_n＝a_n＋1－a_n－1＝a_n＋1－(2a_n＋1－n)－1＝n－a_n＋1－1＝2b_n＋1，即＝

又b₁＝a₂－a₁－1＝－，所以数列{b_n}是以－为首项，为公比的等比数列．

(3)由(2)得，b_n＝－×()＝－3×()，T_n＝＝3×()－．

又a_n＋1＝n－1－b_n＝n－1＋3×()，所以a_n＝n－2＋3×()ⁿ，

所以S_n＝－2n＋3×＝＋3－．

由题意，记c_n＝．要使数列{c_n}为等差数列，只要c_n＋1－c_n为常数．

c_n＝＝＝＋(3－λ)×，

c_n－1＝＋(3－λ)×，则c_n－c_n－1＝＋(3－λ)×(－)．故当λ＝2时，c_n－c_n－1＝为常数，即数列{}为等差数列．

20、 解（I）∵，∴          

依题意有，∴.                          

解得，∴. .                             

    （II）∵,

依题意，是方程的两个根，且，

        ∴.

        ∴，∴.

        ∵∴.

        设，则.

        由得，由得.

        即：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，

        ∴当时，有极大值为96，∴在上的最大值是96，

       ∴的最大值为.                                                      

（III） 证明：∵是方程的两根，

∴.                                               

∵，，∴.

∴

∵，即∴                                           ∴

.                                    

∴成立.