年江西省八校联合考试
数学（文）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员答题卡收回．
参考公式：
如果事件
互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么 
次独立重复试验中恰好发生
次的概率 其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知全集
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.若
,且
, 则
值为（ ）
A．
B．
C． 
D．
3.奇函数
的反函数是
，若
，则
的值是（ ）
A．0 B． 
C．
D．无法确定
4. 设
为不同的直线，
为不同的平面，有如下四个命题：
若
，则
∥
； 若
，则
；
若
，则∥
； 若
∥且
∥则
．
其中正确的命题个数是（ ）
A．
B．
C． 
D．
5. 若函数
的导函数
,则函数
的单调递减区间是( )
A．
B．
C.
D．
6. 若
的展开式中含
的项为第项，设
则其展开式中奇次项系数的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 投掷一个质地均匀的骰子两次（骰子六个面上的数字分别为
），第一次得到的点数为
，第二次得到的点数为
，则使不等式
成立的事件发生的概率等于（ ）
A. 
B.
C.
D.
8. 已知椭圆
的离心率为
，左，右焦点分别为
，抛物线
是以
为顶点，以
为焦点，
为两曲线的交点，若
，则的值为（ ）
A. 
B.
C.
D.
9.已知图甲中的图像对应的函数
，则图乙中的图像对应的函数在下列给出的四式中只可能是
( )
甲 乙
A．
B．
C．
D．
10. 方程
两根为
，则
满足关系式（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 
如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列
的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则
（ ）
A.501 B
12. 
已知如图，
的外接圆的圆心为
,
,
则
等于（ ）
A．
B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填答题卷中相应的横线上．
13. 在条件
下，函数
的最小值是 ．
14.
已知等差数列
的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝
，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是______．
15. 已知如图，正方体
的棱长为
，以顶点
为球心，为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 _________ ．
16. 关于函数
，有下列命题：
①函数的最小正周期是
，其图像的一个对称中心是
；
②函数的最小值是
③函数的图象按向量
平移后所得的函数是偶函数；
④函数在区间
上是减函数
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. （本题满分12分）已知函数
的图象经过点A(0，1)，
B(
，1)，且当
时，
的最大值为
．(1)求的解析式；
(2)是否存在向量
，使得将的图象按照向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，请求出满足条件的一个；若不存在，请说明理由．
18. （本题满分12分）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一个福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数 量
2
2
2
1
1
从中随机地选取5只．
（1）求选取的5只福娃恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率；
（2）求选取的5只福娃离组成完整“奥运会吉祥物”至少差两种福娃的概率．
19. 
（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，平面
平面
, 
为等边三角形，
．
（1）求证：
；
（2）求点
到平面
的距离；
（3）求二面角
的大小．
20.
（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列
的前项和为
，且
成等差数列.
（1）求数列
的通项公式；（2）若
，设
求数列
的前项和
.
21. 
(本小题满分12分)如图，已知抛物线
和直线
，点
在直线
上移动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为
，线段
的中点为
.
（1）求点的轨迹；（2）求
的最小值；
22. （本小题满分14分）已知函数
（1）若函数在
处取得极值，且
，求的值及的单调区间；
（2）若
，讨论曲线与
的交点个数．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
A
D
B
C
C
B
C
B
13. 
14. 2 15. 
16. ①②③
17. 解：(1)由
得：
， 2分
即b = c = 1－a，
4分
当
时，
，
因为
，有1－a > 0，
，得a = －1
故
8分
(2)∵
是奇函数，且将
的图象先向右平移
个单位，再向上平移1个单位，可以得到
的图象，∴
是满足条件的一个平移向量． 12分
18. 解：（1）由等可能事件的概率意义及概率计算公式得
； 5分
（2）设选取的5只福娃恰好距离组成完整“奥运会吉祥物”差两种福娃记为事件B,
依题意可知，至少差两种福娃，只能是差两种福娃，则
11分
故选取的5只福娃距离组成完整“奥运会吉祥物”至少差两种福娃的概率为
12分
19. 解：(1)
即
又平面
平面
………………4分
（2）
∴点
到平面
的距离即求点到平面的距离
取
中点
，连结
∵
为等边三角形
∴
又由（1）知
又
∴点到平面的距离即点到平面的距离为
………………8分
（3）二面角
即二面角
过作
，垂足为点
,连结
由（2）及三垂线定理知
∴
为二面角的平面角
由
∽
得
…12分
解法2：(1)如图，取
中点
，连结
∵为等边三角形
又∵平面平面 
建立空间直角坐标系
，则有
,
即
………………4分
(2)设平面
的一个法向量为
由
得
令
得
∴点到平面的距离即求点到平面的距离
………………………………8分
(3)平面的一个法向量为
设平面
的一个法向量为
，
由
得
令
得
∴二面角的大小为
…………………………………12分
20. 解：（1）由题意知
当n=1时，
当
两式相减得
（
）
整理得：
（） ………………………………………………（4分）
∴数列{an}是
为首项，2为公比的等比数列.
……………………………………（5分）
（2）
…………………………………………………………（6分）
……
①
…… ②
①－②得
……………(9分)
………………………(11分)
………………………………………………………(12分)
21. 解：（1）由
得
，∴
设
，则
,
∴
即
同理，有
,∴
为方程
的两根
∴
. 设
，则
①
②
由①、②消去
得点
的轨迹方程为
. ………………………………6分
（2）
又
∴当
时，
. ………………………………12分
22. 解：（1）
………………………………………………………………………2分
令
得
令
得
∴
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
…………5分
（2）由题
得
即
令
……………………6分
令
得
或
……………………………………………7分
当
即
时
－
此时，
，，有一个交点；…………………………9分
当
即
时，
＋
―
,
∴当即
时,有一个交点；
当
即
时，有两个交点；
当
时，
，有一个交点．………………………13分
综上可知，当
或时，有一个交点；
当时，有两个交点．…………………………………14分
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