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    怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷

    数  学（理科）

    　　命题人：怀铁一中　向重新　　　　　　　　　　　　审题人：市教科院　唐振球

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　怀化三中　周　睿

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　怀化一中　禹平宇

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　沅陵一中　沈清臣

    一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

    1．若其中都是实数，i是虚数单位，则=

           A．1+2i                     B．1－2 i                  C．2+ i                   D．2－i

    2. 设p：log2 x<0，q：，则p是┲q的

       A．充分而不必要条件                                  B．必要而不充分条件

       C．充分必要条件                                      D．既不充分也不必要条件

    3．若, 则直线=1必不经过

    A. 第一象限         B. 第二象限            C. 第三象限        D. 第四象限

    4．设函数是连续函数，则不等式的解集为

    A．   B．              C．            D．

    5．边长为1的正方形ABCD上有一动点P，则向量?的范围是

    A．[0，1]            B．[0，]          C．[1，]          D．{1}

    6．已知等差数列的前n项和为Sn，且S2 =10，S5 = 55，则过点P(n，)和

       Q(n+2，) (n∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是

    A． （2，）       B．        C.         D.   

    7．设是展开式中x的系数，则的值为

           A．16                      B．17                         C．18                    D．19

    8．已知方程的两个根都大于2，则实数m取值范围是

           A．        B．           C． D．

    9. 如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、D1C1 的中点，直线A1B1与平面  A1ECF所成的角的正弦值是

           A．                              B．        

           C．                              D．

    10．已知函数，则函数（其中0<a<1）的单调递减区间是

    A、       B、      C、      D、

    二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答卷中对应题号后的横线上.）

    11．某工厂甲、乙、丙三条生产线共生产了某种产品180件，已知甲、乙、丙三条生产线各自生产的产品数依次组成一个等差数列. 为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，共抽取样品36件，则从乙生产线生产的产品中抽取了           件样品．

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    12. 正三棱锥的底面边长为3，外接球的球心为，且．则三棱锥外接球的体积V=       .

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    13. 已知椭圆(m＞0)，若直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m＝___________.

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    14. 平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，空间中与平面垂直的非零向量称为平面的法向量. 在平面直角坐标系中，直线的方程是(A、B不同时为0)，在空间直角坐标系中，平面的方程是(A、B、C不同时为0). 利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（3，1）且法向量为的直线（点法式）方程为, 化简后得；类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A (2, 1, 3) 且法向量为的平面（点法式）方程为         　　　　　　　　　　　　      .（请写出化简后的结果）

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    15. 给出下列命题：

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    ① 已知，则p>q；            

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    ② 函数的图象关于直线对称，在区间内是增函数；

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    ③ 函数（a是常数且a＞0）的最小值是－1, 且存在反函数；

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    ④ 在中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是.

       其中真命题的编号是                .（把你认为正确命题的序号都填上）.

    怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷

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    数学（理科）答题卷

    登 分 栏

    题号

    一

    二

    三

    总分

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    得分

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    答案

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    二、填空题（每小题5分 ，共25分）

    11、          　   ；    12、            ；   13、             ；

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    14、         　　　　　　　　　　　      ； 　15、     　       .

     

    评卷人

     

    得  分

     

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    三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）.

    16、（本题满分12分）

     

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    　已知锐角ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

    (I) 求角B的大小；

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    (II) 求的值．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    评卷人

     

    得  分

     

     

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    17.（本小题满分12分）

     

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    　　　如图2，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC 所成的角为60°.

    　　（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；

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    　　（Ⅱ）求二面角的大小.

     

     

     

     

     

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    评卷人

     

    得  分

     

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    18. （本题满分12分）

     

     

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        某电视台《快乐五溪》节目有一个有奖竞猜的环节．主持人为幸运观众准备了A、B、C三个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，答对问题C可获奖金4000元，回答问题的先后顺序由观众自由选择，且每种答题顺序的选择都是等可能的. 但只有第一个问题答对，才能再回答第二题，只有答对第二个问题，才能再回答第三题，否则终止答题．假设幸运观众能答对问题A、B、C的概率分别为、、．

    (I) 求幸运观众获得奖金5000元的概率；

    (II)甲观众认为应选择先易后难的顺序（即A→B→C）回答问题，乙观众认为应选择先难后易的顺序（即C→B→A）回答问题. 请你分析他俩的说法，相比较而言，谁可能获得更多的奖金？

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19.（本小题满分13分）

     

     

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        设函数在上是增函数.

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    （Ⅰ）求正实数的取值范围；

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    （Ⅱ）设，求证：

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    评卷人

     

    得  分

     

     

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    20.（本小题满分13分）'

     

     

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        设不等式组 表示的平面区域为D,区域D内的动点P到直线和直线 的距离之积为2, 记点P的轨迹为曲线C.

    (Ⅰ)画图表示平面区域D，并求曲线C的方程；

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        (Ⅱ)是否存在过点的直线l, 使之与曲线C交于相异两点、,且以线段AB为直径的圆与y轴相切？若存在, 求出直线l的斜率；若不存在, 说明理由．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    评卷人

     

    得  分

     

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    21.（本小题满分13分）

     

     

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          已知函数及正整数数列. 若,且当时,有； 又,, 且对任意恒有成立. 数列满足:.

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    　(Ⅰ) 求数列及的通项公式；

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    　(Ⅱ) 求数列的前项和；

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    　(Ⅲ) 证明存在，使得对任意均成立．

     

     

     

     

     

    怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷

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    一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

                 CABCA，BCDDC

    二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，

    11. 12； 12. ； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0；  15. ②④.

    三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    16.解：(Ⅰ) 由已知  ，   ∴    ，

    又   ΔABC是锐角三角形，  ∴     ………………………………6分

    (Ⅱ)

     

     　　　　　　　　　 ………………………………12分

    17.解法一：（Ⅰ）∵，

    且  ∴ ，   ……………………3分

    ∵ 

    ∴                  ……………………6分

    （Ⅱ）取的中点，则，连结，

    ∵，∴，从而

    作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知， AC⊥MH，

    从而为二面角的平面角            …………………8分

    直线与直线所成的角为，∴   …………………9分

    在中，由余弦定理得

        在中，

    在中，

    在中，

    故二面角的平面角大小为       …………………12分

    解法二：（Ⅰ）同解法一

    （Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

    由题意有，设，

    则 ………5分

    由直线与直线所成的角为，得

    ，即，解得………7分

    ∴，设平面的一个法向量为，

    则，取，得         ……………9分

    又  平面的法向量取为                   ……………10分

    设与所成的角为，则，

    故二面角的平面角大小为            ……………12分

    18.　解：(I)记“幸运观众获得奖金5000元”为事件M，即前两个问题选择回答A、C且答对，最后在回答问题B时答错了.

            故   幸运观众获得奖金5000元的概率为       　　 ………………6分

    (II) 设幸运观众按A→B→C顺序回答问题所得奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值可以为0元、1000元、3000元和7000元，其分布列为

    0

    1000

    3000

    7000

    P

    ∴  元. ………………9分

    设幸运观众按C→B→A顺序回答问题所得奖金数为随机变量η，则η的取值可以为0元、4000元、6000元和7000元，其分布列为

    η

    0

    4000

    6000

    7000

    P

    ∴ 元. ……11分

    故   乙观众的选择所获奖金期望较大.                   ………………12分

    19.解：（1）∵     ……………………2分

    由已知对恒成立，即对恒成立

    又         ∴ 为所求        …………………………5分

         （2）取， ∵ ，  ∴ 

    由已知在上是增函数，即，

    也就是   即                …………8分

    另一方面，设函数，则

    ∴   在上是增函数，又

    ∴   当时，

    ∴    ，即 

    综上所述，………………………………………………13分

    20.解：(Ⅰ) 由题意可知，平面区域如图阴影所示． …3分

    设动点为，则

    ，即．

    由 知，x－y<0，即x2－y2<0．

    所以  y2－x2＝4(y>0)，即为曲线的方程　　…………6分

    (Ⅱ)设，，则以线段为直径的圆的圆心为.

    因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，

    即                  ………………………8分

    因为直线AB过点，当AB ^ x轴时，不合题意．

    所以设直线AB的方程为    y＝k(x－2)．

    代入双曲线方程y2－x2＝4 (y＞0)得:      (k2－1)x2－4k2x＋(8k2－4)＝0．

    因为直线l与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是

    x1＋x2＝，x1x2＝．

    ∴   |AB|=

    ∴  

    化简得：k4＋2k2－1＝0                  ……………………………11分

    解得: k2＝－1  （k2＝－－1不合题意，舍去）．

    由△＝(4k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．

    所以直线l存在,其斜率为 k＝－.        …………………13分

    21.　解：(1) 因为  ,所以,

    于是: , 即是以2为公比的等比数列.

    1+1

    因为    

    由题设知： ，解得：,

    又因为且，所以，于是. ……3分

    由得：

    因为是正整数列,  所以  .

    于是是等比数列.  又  , 所以  ，…………………5分

    (2) 由 得：. 

    由及 得：         …………………6分

    设                    ①

    　　　　　　　 ②

    当时，①式减去②式, 得

    于是,

    这时数列的前项和  ．……………8分

    当时，．这时数列的前项和．…………9分

    (3) 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

    　　　　                ③

    由知，要使③式成立，只要 ，

    因为 

    所以③式成立．

    因此，存在，使得对任意均成立．   ……………13分


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