(1)求证:DC是⊙O的切线; (2)设AB=2R,求证:AD?OC=2R2。
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23.(本小题满分10分) 选修4―4;坐标系与参数方程
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已知直线 (I)求直线l的参数方程; (II)设直线l与圆相交于M、N两点,求|PM|?|PN|的值。
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24.(本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲
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已知函数
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一、选择题 1―5 ADBAC 6―10 BCDCD 11―12 AB 二、填空题 13.24 14.24个 15.144 16.② 三、解答题 17.解:随机猜对问题A的概率p1=,随机猜对问题B的概率p2=.………1分 回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: (1)先回答问题A,再回答问题B. 参与者获奖金额ξ可取0,m,m+n.,则 P(ξ=0)=1-p1=,P(ξ=m)=p1(1-p2)=,P(ξ=m+n)=p1p2=. Eξ=0×+m×+(m+n)×=.
………5分 (2)先回答问题B,再回答问题A. 参与者获奖金额η可取0,n,m+n.,则 P(η=0)=1-p2=,P(η=n)=p2(1-p1)=,P(η=m+n)=p2p1=. Eη=0×+n×+(m+n)×=.
………9分 Eξ-Eη=()-()= 于是,当>时,Eξ>Eη,先回答问题A,再回答问题B,获奖的期望值较大; 当=时,Eξ=Eη,两种顺序获奖的期望值相等; 当<时,Eξ<Eη,先回答问题B,再回答问题A,获奖的期望值较大. ………12分 18.解:(1) ………3分 ∵角A为钝角,
……………………………4分 取值最小值, 其最小值为……………………6分 (2)由………………8分 , …………10分 在△中,由正弦定理得: ……12分 19.(Ⅰ)证法一:取的中点G,连结FG、AG, 依题意可知:GF是的中位线, 则
GF∥且, AE∥ 且, 所以GF∥AE,且GF=AE,即四边形AEFG为平行四边形,………3分 则EF∥AG,又AG平面,EF平面, 所以EF∥平面.
………6分 证法二:取DC的中点G,连结FG,GE. ∵∥,平面,∴FG∥平面.
同理:∥平面,且, ∴平面EFG∥平面,
………3分 平面, ∴EF∥平面.
………6分 证法三:连结EC延长交AD于K,连结,E、F分别CK、CD1的中点, 所以 FE∥D1K
………3分 ∵FE∥D1K,平面,平面,∴EF∥平面.
………6分 (Ⅱ)解法一:⊥平面ABCD,过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H,连接D1H. ∵DH是D1H在平面ABCD内的射影,∴D1H⊥EC. ∴∠DHD1为二面角的平面角。即∠DHD1=.
………8分 在△DHD1中,tan∠DHD1=,∴,=, ∴,∴,∴,∴. ………12分 解法二:以D为原点,AD、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。 D(0,0,0),D1(0,0,1),E(1,x,0)、C(0,2,0)。 平面DEC的法向量=(0,0,1),设为平面D1EC的法向量, 则∴∴。 ………8分 设二面角的大小为,∴cos=。 ∴,∴∵<2,∴。
………12分 20.解(Ⅰ)设,,椭圆的方程为. ∵直线平行于向量, ∴与=(3,1)共线 ∴. ∴。
………2分 又∵、在椭圆上,∴∴, ∴=-1,
………4分 ∴,∴,,∴.………6分 (Ⅱ)设,因为直线AB过(,0),所以直线AB的方程为:,代入椭圆方程中得 ∵∴,即, ∴,
………8分 由, ∴ ∵, ∴ ∴, ∵,, 又因为,∴。………10分 ∴, ∴,即。 ∴的轨迹方程.
………12分 21.解:(1)①直线PQ的斜率, 由,所以, 即直线PQ的斜率.
…………2分 由,又,所以, 即图象上任一点切线的斜率k的取值范围为.
…………4分 ②.
…………6分 (2)当,根据(1)中②的结论,得到存在,,使得 ,,
…………9分 又为单调递减函数,所以,即 ,而,所以 , 因为,所以x>0, 1-x>0 所以 .
…………12分 22.证明:(Ⅰ)连接OD,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA, ∵OC∥AD, ∴∠OAD=∠BOC, ∠DOC=∠ODA. ∴∠DOC=∠BOC,∵OD=OB,OC=OC, ∴△DOC≌△BOC.
∴∠ODC=∠OBC.
…………2分 ∵BC是⊙O的切线, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°, ∴DC是⊙O的切线.
…………5分 (Ⅱ)连接BD, ∵AB是⊙0的直径, ∴∠ADB=90°,∴∠OBC=∠ADB. ∵∠OAD=∠BOC.
∴△ADB∽△OBC. ∴, ∴ …………10分 23.解:(Ⅰ)的参数方程为, 即。
…………5分 (Ⅱ)由 可将,化简得。 将直线的参数方程代入圆方程得 ∵,∴。 …………10分 24.证法一:∵,∴,又∵, ∴
………5分 。 ………10分 证法二:设=,∵, 当时,; 当,<0,是单调递减函数,………5分 ∵,∴, ∴==; ==。 ∴。
………10分
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