1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线          ，接着再向下平移3个

单位，得抛物线           .

2.函数图象的对称轴是           ，最大值是           .

3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系

是           .

4.已知二次函数，通过配方化为的形

为           .

5.若二次函数（c不为零），当x取x₁，x₂（x₁≠x₂）时，函数值相等，则

x₁与x₂的关系是            .

6.抛物线当b=0时，对称轴是           ，当a，b同号时，对称轴在y轴             侧，当a，b异号时，对称轴在y轴            侧.

7.抛物线开口         ，对称轴是         ，顶点坐标是        .如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是              .

8.若a<0，则函数图象的顶点在第           象限；当x>时，函数值随x的增大而             .

9.二次函数（a≠0）当a>0时，图象的开口a<0时，图象的开口           ，顶点坐标是            .

10.抛物线，开口            ，顶点坐标是            ，对称轴是             .

11.二次函数的图象的顶点坐标是（1，-2）.

12.已知，当x             时，函数值随x的增大而减小.

13.已知直线与抛物线交点的横坐标为2，则k=            ，交点坐标为             .

14.用配方法将二次函数化成的形式是            .

15.如果二次函数的最小值是1，那么m的值是             .

16.在抛物线上的点是（    ）

  A.（0，-1）         B.        C.（-1，5）         D.（3，4）

17.直线与抛物线的交点个数是（    ）

  A.0个        B.1个        C.2个        D.互相重合的两个

18.关于抛物线（a≠0），下面几点结论中，正确的有（    ）

①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当

a<0时，情况相反.

②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.

③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.

④一元二次方程（a≠0）的根，就是抛物线与x轴

交点的横坐标.

  A.①②③④       B.①②③       C. ①②       D.①

19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（    ）

  A.x=1          B.x=-2          C.x=3          D.x=-3

20.如果一次函数的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函

-3的大致图象是（    ）

图代13-2-12

21.若抛物线的对称轴是则（    ）

  A.2         B.        C.4          D.

22.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性

质说得全对的是（    ）

A.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交

B.开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交

C.开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交

D.开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交

23.二次函数中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（    ）

  A.(-1，-1)        B.(1，1)        C.(1，-1)         D.（-1，1）

24.函数与（a<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（    ）

图代13-3-13

25.如图代13-3-14，抛物线与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B，

C两点，且BC=3，S_△ABC=6，则b的值是（    ）

  A.b=5          B.b=-5          C.b=±5          D.b=4

图代13-3-14

26.二次函数（a<0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是

（    ）

  A．X取任何实数        B.x<0        C.x>0       D.x<0或x>0

27.抛物线向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为

（    ）

  A.            B.

  C.            D.

28.二次函数（k>0）图象的顶点在（    ）

  A.y轴的负半轴上           B.y轴的正半轴上

  C.x轴的负半轴上           D.x轴的正半轴上

29.四个函数：（x>0），（x>0），其中图象经过原

点的函数有（    ）

  A.1个          B.2个          C.3个          D.4个

30.不论x为值何，函数（a≠0）的值永远小于0的条件是（    ）

  A.a>0，Δ>0           B.a>0,Δ<0

  C．a<0,Δ>0           D.a<0,Δ<0

31.已知二次函数和的图象都经过x

轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.

32.已知二次函数的图象经过点A（2，4），顶点的横坐标为，它

的图象与x轴交于两点B（x₁，0），C（x₂，0），与y轴交于点D，且，试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P，B两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.

33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该

抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB的解析式；（2）抛物线的解析式.

            图代13-3-15                                 图代13-3-16

34.中图代13-3-16，抛物线交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方

向于C点，过A，B，C三点做⊙D，若⊙D与y轴相切.（1）求a，c满足的关系能工巧匠；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.

35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示

意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇部分为一段抛物线，顶点C的高度为8米，AD和A＇D＇是两侧高为5.5米的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.

求（1）桥拱DGD＇所在抛物线的解析式及CC＇的长；

（2）BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB和A＇B＇为两个方

向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；

（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车

载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或OA＇）区域安全通过？请说明理由.

图代13-3-17

36.已知：抛物线与x轴交于两点（a<b）.O

为坐标原点，分别以OA，OB为直径作⊙O₁和⊙O₂在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.

37.如果抛物线与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴

的正半轴上，B点在x同的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.

（1）求m的取值范围；

（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在

点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

38.已知：如图代13-3-18，EB是⊙O的直径，且EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB.A

是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H，连结ED和FH.

图代13-3-18

（1）若AE=2，求AD的长.

（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，①是否总有？试证明

你的结论；②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

39.已知二次函数的图象与x轴的交点为

A，B（点A在点B右边），与y轴的交点为C.

（1）若△ABC为Rt△，求m的值；

（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；

（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.

40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，

满足OA∶OB=4∶3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2.

图代13-3-19

（1）求⊙C的圆心坐标.

（2）过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式.

（3）抛物线（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点

为B，求抛物线的解析式.

41.已知直线和，二次函数图象的顶点为M.

（1）若M恰在直线与的交点处，试证明：无论m取何实数值，

二次函数的图象与直线总有两个不同的交点.

（2）在（1）的条件下，若直线过点D（0，-3），求二次函数

的表达式，并作出其大致图象.

图代13-3-20

（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与y轴交于点C，与x同

的左交点为A，试在直线上求异于M点P，使P在△CMA的外接圆上.

42.如图代13-3-20，已知抛物线与x轴从左至右交于A，B两点，

与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.

参  考  答  案

动脑动手

1.设每件提高x元（0≤x≤10），即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10x）

件，设每天所获利润为y元，依题意，得

∴当x=4时（0≤x≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.

2.∵，

∴当x=0时，y=4.

当时.

即抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴的交点为A（3，0），.

（1）当AC=BC时，

.

∴                            

（2）当AC=AB时，

.

∴                                 .

∴                            .

当时，；

当时，.

（3）当AB=BC时，

，

∴                              .

∴                          .

可求抛物线解析式为：或.

3.（1）∵

图代13-3-21

∴不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.

令y=0，得

            ，

∴             .

∴两交点中必有一个交点是A（2，0）.

（2）由（1）得另一个交点B的坐标是（m²+3,0）.

，

∵                          m²+10>0，∴d=m²+1.

（3）①当d=10时，得m²=9.

∴                          A（2，0），B（12，0）.

.

该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB的中点E（7，0）.

过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，

则，

∴                        .                         ①

∵点PD在抛物线上，

∴                        .                          ②

解①②联合方程组，得.

当b=0时，点P在x轴上，△ABP不存在，b=0，舍去.∴b=-1.

注：求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.

②△ABP为锐角三角形时，则-25≤b<-1；

△ABP为钝角三角形时，则b>-1，且b≠0.

同步题库

1.；  2.；  3.；  4.

；  5.互为相反数；  6.y轴，左，右；  7.下，x=-1,(-1,-3)，x>-1；  8.四，增大；  9.向上，向下，；  10.向下，（h,0），x=h；  11.-1，-2；  12.x<-1；  13.-17，（2，3）；  14.；  15.10.

16.B  17.C  18.A  19.A  20.C  21.D  22.B  23.B  24.D  25.B  26.D  27.C  28.

C  29.A  30.D

31.解法一：依题意，设M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁≠x₂，则x₁，x₂为方程x²+2ax-2b+1=0

的两个实数根，

∴                         ，?.

∵x₁，x₂又是方程的两个实数根，

∴                         x₁+x₂=a-3，x₁?x₂=1-b₂.

∴                            

解得                           或

当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴a=1，b=0舍去.

当a=1；b=2时，二次函数和符合题意.

∴                            a=1，b=2.

解法二：∵二次函数的图象对称轴为，

二次函数的图象的对称轴为，

又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N，

∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.

∴                             .

解得                              .

∴两个二次函数分别为和.

依题意，令y=0，得

，

.

①+②得

.

解得                           .

∴                            或

当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴a=1，b=0舍去.

当a=1，b=2时，二次函数为和符合题意.

∴                               a=1，b=2.

32.解：∵的图象与x轴交于点B（x₁，0），C（x₂，0），

∴                       .

又∵即，

∴                         .                        ①

又由y的图象过点A（2，4），顶点横坐标为，则有

                              4a+2b+c=4，                            ②

                              .                             ③

解由①②③组成的方程组得

a=-1,b=1,c=6.

∴                                y=-x²+x+6.

与x轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.

与y轴交点D坐标为（0，6）.

设y轴上存在点P，使得△POB∽△DOC，则有

（1）当B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，有

.

∴OP=4，即点P坐标为（0，4）或（0，-4）.

当P点坐标为（0，4）时，可设过P，B两点直线的解析式为

y=kx+4.

有                                0=-2k-4.

得                                  k=-2.

∴                                 y=-2x-4.

或                    .

∴OP=1，这时P点坐标为（0，1）或（0，-1）.

当P点坐标为（0，1）时，可设过P，B两点直线的解析式为

y=kx+1.

有                                0=-2k+1.

得                                 .

∴                               .

当P点坐标为（0，-1）时，可设过P，B两点直线的解析式为

y=kx-1，

有                               0=-2k-1，

得                                .

∴                              .

（2）当B（3，0），C（-2，0），D（0，6）时，同理可得

y=-3x+9，

或                               y=3x-9，

或                             ，

或                               .

33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，

令y=0，得x=4.

∴A点坐标为（4，0）.

∴                               ∠ABC=90°.

∵                              △CBD∽△BAO，

∴，即OB²=OA?OC.

又∵                        CO=1，OA=4，

∴                              OB²=1×4=4.

∴                           OB=2（OB=-2舍去）

∴B点坐标为（0，2）.

将点B（0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得.

∴直线的解析式为：.

（2）解法一：设抛物线的解析式为，函数图象过A（4，0），B（0，

2），得

解得                          

∴抛物线的解析式为：.

解法二：设抛物线的解析式为：，又设点A（4，0）关于x=-1的对

称是D.

∵                               CA=1+4=5，

∴                                 CD=5.

∴                                 OD=6.

∴D点坐标为（-6，0）.

将点A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入抛物线方程，得

解得                       .

∴抛物线的解析式为：.

34.解：（1）A，B的横坐标是方程的两根，设为x₁,x₂（x₂>x₁），C的

纵坐标是C.

又∵y轴与⊙O相切，

∴                            OA?OB=OC².

∴                              x₁?x₂=c².

又由方程知

，

∴，即ac=1.

（2）连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连结AD、BD，

图代13-3-22

∴                            .

.

∵                             a>0,x₂>x₁，

∴                     .

.

又                                ED=OC=c，

∴                               .

（3）设∠PAB=β，

∵P点的坐标为，又∵a>0，

∴在Rt△PAE中，.

∴                          .

∴                  tgβ=tgα. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.

∵                           ∠ADE+∠DAE=90°

∴PA和⊙D相切.

35.解：（1）设DGD＇所在的抛物线的解析式为

，

由题意得G（0，8），D（15，5.5）.

∴                     解得

∴DGD＇所在的抛物线的解析式为.

∵且AD=5.5,

∴                             AC=5.5×4=22(米).

∴                 ）

                       =74（米）.

答：cc＇的长为74米.

（2）∵                       ，

∴                                 BC=16.

∴                          AB=AC-BC=22-16=6（米）.

答：AB和A＇B＇的宽都是6米.

（3）在中，当x=4时，

.

∵                        >0.

∴该大型货车可以从OA（OA＇）区域安全通过.

36.解:（1）∵⊙O₁与⊙O₂外切于原点O，

∴A，B两点分别位于原点两旁，即a<0，b>0.

∴方程的两个根a，b异号.

∴ab=m+2<0，∴m<-2.

（2）当m<-2，且m≠-4时，四边形PO₁O₂Q是直角梯形.

根据题意，计算得（或或1）.

m=-4时，四边形PO₁O₂Q是矩形.

根据题意，计算得（或或1）.

（3）∵           >0

∴方程有两个不相等的实数根.

∵                                m>-2，

∴                         

∴                             a>0，b>0.

∴⊙O₁与⊙O₂都在y轴右侧，并且两圆内切.

37.解：（1）设A，B两点的坐标分别是（x₁，0）、（x₂，0），

∵A，B两点在原点的两侧，

∴                        x₁x₂<0，即-（m+1）<0，

解得                               m>-1.

∵                   

当m>-1时，Δ>0，

∴m的取值范围是m>-1.

（2）∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k（k>0），

则                             x₁=3k，x₂=-k，

∴                        

解得                             .

∵时，（不合题意，舍去），

∴                                    m=2

∴抛物线的解析式是.

（3）易求抛物线与x轴的两个交点坐标是A（3，0），B（-1，0）

与y轴交点坐标是C（0，3），顶点坐标是M（1，4）.

设直线BM的解析式为，

则                          

解得                             

∴直线BM的解析式是y=2x+2.

设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），

∴                     

设P点坐标是（x,y），

∵                           ，

∴                          .

即                           .

∴                           .∴.

当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），

当y=-4时，-4=-x²+2x+3，

解得                           .

∴满足条件的P点存在.

P点坐标是（1，4），.

38.（1）解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，

∴                      AD²=AE?AB=2×（2+6）=16.

∴                               AD=4.

图代13-2-23

（2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合），总有.

证法一：连结DB，交FH于G，

∵AH是⊙O的切线，

∴               ∠HDB=∠DEB.

又∵BH⊥AH，BE为直径，

∴                          ∠BDE=90°

有                        ∠DBE=90°-∠DEB

                               =90°-∠HDB

                               =∠DBH.

在△DFB和△DHB中，

DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，

∴                            △DFB∽△DHB.

∴BH=BF，  ∴△BHF是等腰三角形.

∴BG⊥FH，即BD⊥FH.

∴ED∥FH，∴.

图代13-3-24

证法二：连结DB，

∵AH是⊙O的切线，

∴                             ∠HDB=∠DEF.

又∵DF⊥AB，BH⊥DH，

∴                             ∠EDF=∠DBH.

以BD为直径作一个圆，则此圆必过F，H两点，

∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.

∴                             ED∥FH.

∴                             .

②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.

又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，

∴                            △DFE∽△BDE，

∴，即.

∴，即.

∵点A不与点E重合，∴ED=x>0.

A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，则OD⊥PH.

∴                              OD∥BH.

又                  ，

，

∴               ，

由ED²=EF?EB得

，

∵x>0，∴.

∴                             0<x≤.

（或由BH=4=y，代入中，得）

故所求函数关系式为（0<x≤）.

39.解：∵,

∴可得.

（1）∵△ABC为直角三角形，∴，

即，

化得.∴m=2.

（2）∵AC=BC，CO⊥AB，∴AO=BO，即.

∴.∴.

过A作AD⊥BC，垂足为D，

∴                          AB?OC=BC?AD.

∴                            .

∴                    .

图代13-3-25

（3）

∵                        ，

∴当，即时，S有最小值，最小值为.

40.解：（1）∵OA⊥OB，OA∶OB=4∶3，⊙D的半径为2，

∴⊙C过原点，OC=4，AB=8.

A点坐标为，B点坐标为.

∴⊙C的圆心C的坐标为.

（2）由EF是⊙D切线，∴OC⊥EF.

∵                             CO=CA=CB，

∴                      ∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO.

∴                      Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO.

∴                         .

∴                          .

E点坐标为（5，0），F点坐标为，

∴切线EF解析式为.

（3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为，可得

∴                        .

②当抛物线开口向上时,顶点坐标为，得

∴                        .

综合上述，抛物线解析式为或.

41.（1）证明：由

有                              ，

∴                        .

∴交点.

此时二次函数为

                .

由②③联立，消去y，有

.

∴无论m为何实数值，二次函数的图象与直线总有两个

不同的交点.

图代13-3-26

（2）解：∵直线y=-x+m过点D（0，-3），

∴                              -3=0+m，

∴                               m=-3.

∴M（-2，-1）.

∴二次函数为

.

图象如图代13-3-26.

（3）解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，

∴MC为△CMA外接圆直径.

∵P在上，可设，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，

∴                        ∠CPM=Rt∠.

过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的

延长线交于点Q.

由勾股定理，有

，即.

.

.

而                         ，

∴               ，

即                          ，

∴                          ，

.

∴                           .

而n₂=-2即是M点的横坐标，与题意不合，应舍去.

∴                                ，

此时                              .

∴P点坐标为.

42.解：（1）根据题意，设点A（x₁，0）、点（x₂，0），且C（0，b），x₁<0，x₂>0，b>0，

∵x₁，x₂是方程的两根，

∴                       .

在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴OC²=OA?OB.

∵                          OA=-x₁,OB=x₂，

∴                            b²=-x₁?x₂=b.

∵b>0,∴b=1，∴C（0，1）.

（2）在Rt△AOC的Rt△BOC中，

.

∴                           .

∴抛物线解析式为.

图代13-3-27

（3）∵，∴顶点P的坐标为（1，2），

当时，.

∴.

延长PC交x轴于点D，过C，P的直线为y=x+1，

∴点D坐标为（-1，0）.

∴