2006年黑龙江省高考第二次摸拟考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试公式：
如果事件A、B互斥，那么，P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互独立，那么，P（A?B）＝P（A）?P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R表示球的半径
球的体积公式：V=
πR3，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
1.复数
所对应的点位于复平面的
2．在边长为1的正三角形ABC中，
的值为
A．
B．－ C．或－ D．不确定
3．若x∈(－
,),则方程sinx=tanx的实根的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数f(x)=lg
,若f(a)＝b，则f(-a)＝
A．b B．-b C．
D．-
5．(x2－
)3的展开式中的常数项为
A．6 B．－6 C．12 D．－12
6．已知集合A＝{1，－2，3}，B＝{－4，5，6，－7}。分别从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则平面直角坐标系中，位于第一、第二象限内不同点的个数为
A．18 B．16 C．10 D．14
7．在等差数列中{an}中，a1+a2+a3=1，a28+a29+a30=165，则此数列前30项的和为
A.．810 B．830 C．850 D．870
8．如果不等式f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),f(1)=0则
A．f(x-1)一定是奇函数 B．f(x-1)一定是偶函数
D．f(x+1)一定是奇函数 D．f(x+1)一定是偶函数
9．如果不等式｜x－a｜<1成立的充分不必要条件是<x<
，则实数a的取值范围是
A．<a< B．≤a≤
C．a<或a> D．a≤或a≥
10．已知向量a、b均为非零向量，现把向量a，b，
A．恰好有两个点重合 B．恰好三个点重合
C．三点共线 D．以上都不对
11．在2006年前，我国实行的《中华人民共和国个人所和税法》规定起征点为800元，即公民全民工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纲税所得额。此项税额按下表分段累计进行计算。
全月应纳纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5％
超过500元至2000元的部分
10％
超过2000元至5000元的部分
15％
… …… …… …
… …
为了适应时代要求，我国2006年1月份起，开始实行新的《中华人民共和国个所得税法》起征点由800元提到1 600元，其它均不变
A．87.5元 B．80元 C．75元 D．75.5元
12．定义域和值域均为[－a，a]（常数a>0）的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示：
给出下列四个命题：
①方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；
②方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；
③方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；
④方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔答在答题卡上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3.本卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡上。
13．过抛物线y2=4x的顶点的内接正三角形的边长等于_________.
14．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，其会徽如图所示，它是由4个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是
，则sin2θ-cos2θ的值等于________.
15．定义一个运算：“Θ”，对任意正整数n,满足以下运算性质：
i)1Θ1＝1；
ii)(n+1)Θ1=3×(nΘ1)。则2006Θ1值为________.
16．已知圆C：（x-2）2+y2=42,过点M（－1，2）作直线L，使L与圆的交点都在第二象限内，则直线L的斜率的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
关于x的方程x2-4xsinθ+a?tanθ=0，（
<θ<）有两个相等实根，
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a＝
时，求cos(θ+)的值。
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC―A1B
（1）求CE与AC1的夹角；
（2）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（3）求二面角C―A1E―D的大小。
19．（本小题满分12分）
对于满足0≤P≤4的一切实数，不等式x2+Px>4x+P-3恒成立，求x的取值范围。
20．（本小题满分12分）
甲乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对两道才算合格。
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
21．(本小题满分12分)
椭圆
的内接△ABC是以B(0，1)为直角顶点的等腰直角三角形，设直线AB的斜率为k.
(1)已知k=3,求椭圆的主程；
(2)若k≠1求实数a的取值范围。
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=2n
(n∈N*),在x∈[0，+∞]上的最小值是an.
(1)求an；
(2)若Tn=cos
试比较Tn与Tn+1的大小；
(3)问点列An(2n，an)中，是否存在三点，使以这三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有三角形顶点坐标；若不存在，请说明理由。
2006普通高等学校招生黑龙江省统一模拟考试(二)
一、选择题：1~12(5×12=60)
题号
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
答案
B
B
A
B
C
D
B
C
B
C
C
D
二、填空题：13、B
；14、-
；15、32005；16、(2-2，2)。
三、解答题：
17.解：(1)根据已知条件得：△=16sin2θ-4atanθ=0
即：a=
2sin2θ 2分
又由已知：
得
4分
所以有0<sin2θ<1
所以a∈(0，2) 6分
(2)当a=
时由(1)得2sin2θ= 8分
所以sinθ=
，而sin2θ=-cos(
+2θ)
=-2cos2(
)+1= 10分
所以cos2()=
,又
所以cos()=-
12分
18.(九A解法)解：(1)取AC、CC1中点分别为M、N，连接MN、NB1、MB1，
∵AC1∥MN，NB1∥CE
∴∠MNB1是CE与AC1成角的补角 2分
Rt△NB
Rt△MNC中，MN=6
Rt△MBB1中，MB1=
∴cos∠MNB1=-
∴CE与AC1的夹角为arccos 4分
(2)过D作DP∥AC交BC于P，则A1D在面BCC1B1上的射影为C1P，而CE⊥A1D，由三垂线定理的逆定理可得CE⊥C1P，又BCC1B为正方形
∴P为BC中点，D为AB中点， 6分
∴CD⊥AB，CD⊥AA1
∴CD⊥面ABB
(3)由(2)CD⊥面A1DE
∴过D作DF⊥A1E于F，连接CF
由三垂线定理可知CF⊥A1E
∴∠CFD为二面角C-A1E-D的平面角 10分
又∵A1D=
∴A1D2+DE2=A1E2=324
∴∠A1DE=90°
∴DF=6，又CD=6
∴tan∠CFD=1
∴∠CFD=45°
∴二面角C-A1E-D的大小为45° 12分
(此题也可通过建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解)
19.解：由已知得：
不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立
即：p(x-1)+x2-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立
令f(p)=p(x-1)+x2-4x+3
则有函数f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。 4分
(1)显然当x=1时不恒成立
(2)当x≠1时，有
即x>3或x<-1 10分
所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)为所求 12分
20.解：(1)ξ=0、1、2、3
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)= 
∴Eξ=1×
6分
(2)设甲考试合格为事件A，乙考试合格为事件B，A、B为相互独立事件
P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=
P(B)=
甲、乙两人均不合格为事件
p()=[1-P(A)][1-P(B)]=
∴甲、乙两人至少有一人合各的概率为
12分
21.解：(1)∵AB方程是y=3x+1，则
得(1+
∴x A =-
,同理BC方程是y=-
可得xc=
2分
∴|AB|=|xA-0|?
|BC|=|xc-0|?
4分
∵|AB|=|BC|
∴
=解得a2=
∴椭圆方程为
6分
(2)设AB：y=kx+1(不妨设k>0且k≠1)代入
整理得(1+a2k2)x2+a2kx=0
∴xA=-
,同理xc=
8分
∴|AB|=
，
|BC|=
又|AB|=|BC|
∴
整理得
(k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0 (k≠1)
∴k2+(1-a2)k+1=0 10分
∴△=(1-a2)2-4≥0,解得a≥
若△=0，则a=,此时k2+[1-()2]k+1=0
k1=k2=1与k≠1矛盾，故a>. 12分
22.解：(1)由已知有f′(x)=2n
令f′(x)=0
得x=±
2分
∵x∈[0,+∞],∴x=
∵0<x<时f′(x)<0
X>时f′(x)>0
∴当x=时，fmin(x)=an=2n
=
5分
(2)由已知Tn=cos
=
7分
∵
9分
∴π>
又y=cosx在(0,π)上是减函数
∴Tn是递增的
∴Tn<Tn+1(n∈N*) 10分
(3)不存在
由已知点列An(2n,),显然满足y2=x2-1,(x=2n) 12分
即An上的点在双曲线x2-y2=1上，且在第一象限内
∴任意三点An、Am、Ap连线的斜率KAnAm，KAnAp，KAmAp均为正值。
∴任意两个量的乘积不可能等于-1
∴三角形AnAmAp三个内角均无直角
∴不可能组成直角三角形。 14分
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