71、如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在竖直的墙上，用手拉住弹簧另一端缓慢地向右拉．试证明在人手拉着弹簧的右端向右移动l距离的过程中，人手克服弹力做的功W=kl²/2．　

由于弹簧的弹力F与弹簧的形变量x成正比．即F=kx．本题中x就是人手向右移动的距离L，因此我们可以建立Fx关系图象( 2分)，如图所示．

如果我们将L无限细分成很多相等的小段△x，当△x趋近于零时，则在这一段上的变力F就可以看做恒力．( 2分)

△x与图线所构成的图形为矩形，因此在这段位移△x上弹力所做的功kx·x就等于这个矩形的面积( 2分)．

由于功是标量，所以弹力在L的位移内所做的总功就等于各个小段△x上的功(即矩形面积)的总和( 1分).故人手克服弹力所做的功为W=．( 1分)

70、如图所示，某要乘雪橇从雪坡经A点滑到B点，接着沿水平路面滑至C点停止。人与雪橇的总质量为70kg。右表中记录了沿坡滑下过程中的有关数据，开始时人与雪橇距水平路面的高度h=20m，请根据右表中的数据解决下列问题：

　 (1)人与雪橇从A到B的过程中，损失的机械能为多少？

　 (2)设人与雪橇在BC段所受阻力恒定，求阻力的大小。

　 (3)人与雪橇从B运动到C的过程中所对应的距离。(取g=10m/s²)

解：(1)从A到B的过程中，人与雪橇损失的机械能为

　 (2分)

代入数据解得△E=9.1×10³J　 (1分)

(2)人与雪橇在BC段做减速运动的加速度大小 　(1分)

根据牛顿第二定律有 　　(1分)

解得　 N　　　 (2分)

(3)由动能定得得　 　　(2分)

代入数据解得　 x=36m　 (1分)

69、如图所示，质量m=60kg的高山滑雪运动员，从A点由静止开始沿滑雪道滑下，从B点水平飞出后又落在与水平面成倾角=的斜坡上C点．已知AB两点间的高度差为h=25m，B、C两点间的距离为s=75m，已知sin37⁰=0.6，取g=10m/s²，求：

(1)运动员从B点水平飞出时的速度大小；

(2)运动员从A点到B点的过程中克服摩擦力做的功．

解：(1)由B到C平抛运动的时间为t

竖直方向：h_Bc=ssin37^o=gt²　　　　 (1)　　　　　　　　　　　 (3分)

水平方向：scos37⁰=v_Bt 　　　　　　　(2)　 (3分)

代得数据，解(1)(2)得v_B=20m／s　 (3)(2分)

(2)A到B过程，由动能定理有

mgh_AB+w_f=mv_B² 　　　　　　　　　(4)　　　　　　　　　　　 (3分)

代人数据，解(3)(4)得　 w_f ＝－3000J　　　　　　　　　　　 　　(2分)

所以运动员克服摩擦力所做的功为3000J

68、如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道，经过O点时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在竖直墙上的M点，另一端恰位于滑道的末端O点。已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：

(1)物块滑到O点时的速度大小；

(2)弹簧为最大压缩量d时的弹性势能 (设弹簧处于原长时弹性势能为零)

(3)若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？

(1)由机械能守恒定律得　 　　　　　　　　(2分)

解得　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

　 (2)在水平滑道上物块A克服摩擦力所做的功为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

由能量守恒定律得 　　　　　　　　(2分)

以上各式联立求解得　　　　　　　　 (1分)

　 (3)物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

由能量守恒定律得 　　　　　　　　　(1分)

解得物块A能够上升的最大高度为：　　　　 (1分)

67、如图所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m=2kg小球A。半径R＝0.3m的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m=2kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，g取10m/s²。现给小球A一个水平向右的恒力F＝55N。求：

　 (1)把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功；

　 (2)小球B运动到C处时的速度大小；

　 (3)小球B被拉到离地多高时与小球A速度大小相等。

(1)小球B运动到P点正下方过程中的位移为

(m)(2分)

　 得：W_F=Fx_A=22J(2分)

(2)由动能定理得

　　 代入数据得：v=4m/s(4分)

⑶当绳与圆环相切时两球的速度相等。

=0.225m(4分)

66、如图所示，竖直平面内放一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数=0.20，杆的竖直部分光滑，两部分各套有质量分别为2.0kg和1.0kg的小球A和B，A、B间用细绳相连，初始位置OA=1.5m，OB=2.0m，g取10 m/s²，则

(1)若用水平拉力F₁沿杆向右缓慢拉A，使之移动0.5m，该过程中A受到的摩擦力多大？拉力F₁做功多少？

(2)若小球A、B都有一定的初速度，A在水平拉力F₂的作用下，使B由初始位置以1.0m/s的速度匀速上升0.5m，此过程中拉力F₂做功多少？

(1)A、B小球和细绳整体竖直方向处于平衡，A受到水平的弹力为：

　　 　　 N=(m_A+m_B)g 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

　　 　　 则A受到的摩擦力为F_f=(m_A+m_B)g

　　 　　 代入数字得：F_f=6N　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

　　 　　 由几何关系，s_B=0.5m 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

　　 　　 由能量关系，拉力F₁做功为：

　　 　　 W₁=F_fs+m_Bgs_B；

　　 　　 代入数字得：W₁=20 J 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

　　 (2)设细绳与竖直方向的夹角为，因细绳不可伸长，所以有

　　 　　 v_Bcos=v_Asin　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

　　 　　 则：m/s

　　 　　 m/s 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

　　 　　 设拉力F₂做功为W₂，对系统由能量关系得：

　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

　　 　　 代入数字得W₂=6.8 J　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 (2分)

65、如图所示，电场极板AB间有电场强度的匀强电场，一带电量的小球开始时静止在电场中的点，靠近电场极板B处有一挡板S，小球与挡板S的距离，与板距离，小球的重力不计．在电场力作用下小球向左运动，与挡板S相碰后电量减少到碰前的K倍，已知，碰撞过程中小球的机械能没有损失．

(1)求小球第一次到达挡板S时的动能；

(2)求小球第一次与挡板S相碰后向右运动的距离；

(2)小球与挡板S经过多少次碰撞后，才能运动到板？

解：(1)小球第一次到达挡板时，由动能定理得

　　　　　 =0.02J　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

(2)设小球与挡板相碰后向右运动s，则

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　(2分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

(3)分析题意可知，每次碰后向右运动的距离是前一次的1/k，

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)

n==13　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

64、如图所示，一倾角为30°的光滑斜面底端有一与斜面垂直的固定挡板M，物块A、B之间用一与斜面平行轻质弹簧连结，现用力缓慢沿斜面向下推动物块B，当弹簧具有5J弹性势能时撤去推力释放物块B；已知A、B质量分别为m_A＝5kg、m_B＝2kg，弹簧的弹性势能表达式为，其中弹簧的劲度系数k＝，x为弹簧形变量，，求：

　 　(1)当弹簧恢复原长时，物块B的速度大小；

　 (2)物块A刚离开挡板时，物块B的动能．

解：(1)当E_p =5J时，弹簧压缩x₁，由　 得x₁=0.1m　 (2分)

当弹簧恢复原长时，由机械能守恒可得

　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

v=2m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

(2)当物块A刚离开挡板时，弹簧伸长x₂，

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(1分)

x₂=0.025m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

由系统机械能守恒得

　　　　　　　　　　　　 (2分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

63、当空间探测器从行星旁绕过时，由于行星的引力作用，将“偷”取一部分行星的能量，可以使探测器的运动速率增大，这种现象被称之为“弹弓效应”。在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法。1997年10月15日发射升空的卡西尼号宇宙飞船在到达土星前，就是这样“偷’’了两次金星、一次地球的引力使自己加速，直奔土星，当然中途经过巨大的木星更不会放过，照例再“偷”一次。右图就是“弹弓效应”示意图：质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度v₀飞向质量为M的行星，此时行星相对于太阳的速度u₀，探测器绕过行星后相对于太阳的速度为v，，此时行星相对于太阳的速度为u，且m<M，v₀、v、u₀、u的方向均可视为相互平行。　

(1)试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中“动量守恒”及“始末状态总动能相等”的方程，并在m<M的条件下，用v₀和u₀来表示v；

(2)若上述行星是质量为M=5.67×l0²⁶kg的土星，其相对于太阳的轨道速率u₀=9.6 km／s，而空间探测器的质量m=150 kg，相对于太阳迎向土星的速率v₀=10.4 km／s，则由于　　 “弹弓效应”，该探测器绕过土星后沿与原来速度相反的方向离去，求它离开土星后相对太阳的速率增为多少?

(3)若此探测器飞向行星时其速度v₀与土星的速度u₀同方向，则是否仍能产生使探测器速率增大的“弹弓效应”，简要说明理由。

解：(1)动量守恒的方程为 ①

始末状态总动能相等的方程为 ②

解得：，当时， ③

(2)代入数据得：

(3)不能。根据如下：

由与得

，故当时，。而，故，不能使探测器速度增大。

评分标准：(1)(12分)写出①②③两式各得4分；(2)(5分)解出v=29.6km／s，得5分；(3)(5分)判断出不能使探测器速度增大并理由充分得5分，否则酌情扣分。

62、如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带有+Q_A和+Q_B的电荷量，质量分别为m_A和m_B．两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接一轻质小钩，整个装置处于方向水平向左的匀强电场中，电场强度为E．开始时A、B静止，已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B一直在水平面上运动且不会碰到滑轮．试求

(1) 开始A、B静止时，挡板P对物块A的作用力大小；

(2) 若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，当物块C下落到最大距离时物块A对挡板P的压力刚好为零，试求物块C下落的最大距离；

(3) 若C的质量改为2M，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？

解析：(15分)(1)对系统AB：　 　　　(4分)

(2)开始时弹簧形变量为，由平衡条件：　 ①(2分)

设当A刚离开档板时弹簧的形变量为：由：可得　 ②(2分)

故C下降的最大距离为：　 ③……………(1分)

由①-③式可解得　　 ④…………… (1分)

(3)由能量守恒定律可知：C下落h过程中，C重力势能的的减少量等于B的电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和

当C的质量为M时：　　 ⑤…(2分)

当C的质量为2M时，设A刚离开挡板时B的速度为V

　⑥ …(2分)

由④-⑥式可解得A刚离开P时B的速度为：

　 ⑦………………(1分)