例3函数f(x)定义在正整数集上，且满足：f(1)=2002和f(1)+f(2)+……+f(n)= f(n)，则f(2002)的值为__________．

[分析]首先根据所给的条件求出f(n)的表达式，在求值．

[解析]由f(1)+f(2)+…+f(n)= f(n)，得：f(1)+f(2)+…+f(n－1)= f(n－1)，两式相减得：f(n)= f(n)－ f(n－1)(n≥3)，变形得：(n≥3)，由得：，又f(1)=2002，于是有，∴，故f(2002)=．

[点评]由f(n)= f(n)－ f(n－1)(n≥3)推出f(n)的表达式，整个运算过程，都需要有一定的观察分析能力，善于从式子结构出发，向下进行，进而求出f(2002)．

例4已知函数，若f(x)=10，求x=_________．

[分析]首先确定用那一部分的函数表达式求解x，从f(x)=10可以看出，要求函数的值是正数，故不用f(x)=－2x(x＞0)．

[解析]由于f(x)=10＞0，而当f(x)=－2x(x＞0)时，f(x)＜0，于是应用，令=10，x=±3，由于x＜0，故x=－3．

例1 已知y=f(x)满足，其中a、b、c都是非零的常数，a≠±b，求函数的解析式．

[分析]y=f(x)没有具体结构，条件中的a、b、c a、b、c都是已知的常数，不可用待定系数法去求解．本题可用，转化出另一个式子，采用解方程组的办法求解．

[解析]∵，以代换x得：，联立两式消去f()得：．∵，∴．

[点评]从所给式子出发，看成一个变式，把x换成以后得到方程组，故视f(x)为一个未知量，解之得f(x)，称此法为“函数方程法”．求抽象函数解析式这是常用的方法．

例2 设f(x)是定义域为R的函数，且满足f(－x)=－f(x)，当x∈[0，+∞时，，求f(x)的解析式．

[分析]利用f(－x)=－f(x)求(－∞，0)上的表达式即可．

[解析]∵f(－x)=－f(x)，又当x＜0时，－x＞0，由已知，∴，则 (x＜0，

∴．

[点评]给出某区间上的表达式，求对称区间上的表达式时，常常应用f(－x)=－f(x)或f(－x)= f(x)进行转化．

4．构建指数函数模型解决实际问题

例4　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为℅，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式；

(2)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).

分析：本题属于人口增长率问题，第(2)小题要取常用对数计算．

解：(1)1年后该城市人口总数为：

＝100+100×℅＝100(1+℅)

2年后该城市人口总数为：

＝100(1+℅)+100(1+℅)×℅＝100

3年后该城市人口总数为：

＝100+100×℅＝100

…　 …

年后该城市人口总数为：＝100

(2)设年后该城市人口将达到120万人，即100＝120

∴　　,两边取常用对数得：＝(年)

答：大约15年以后该城市人口将达到120万人.

3．构建分段函数模型解决实际问题

例3．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资薪金所得税；超过1000元的部分需征税．设全月纳税所得额(所得额指工资，薪金中应纳税的部分)为，＝全月收入－1000元，税率见下表：

　　级数　　　全月纳税所得额　　　　税率

　　1　　　不超过500元部分　　　　5℅

　　2　　　超过500元至2000元部分　　　10℅

　　3　　　超过2000元至5000元部分　　　15℅

　　9　　　超过100000部分　　　　45℅

(1)若应纳税额为，试用分段函数表示1-3级纳税额的计算公式；

　(2)某人2004年10月份工资总收入为4200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？

分析：本题是分段累进计算问题．应注意分清段，计算清楚．

(1)　 依税率表得：第一段：·5℅

第二段：(－500)×10℅+500×5℅

第三段：(－2000)×15℅+1500×10℅+500×5℅

即＝

(2)这个人10月份个人所得税为：＝4200－1000＝3200，

＝(3200－2000)+175＝355(元)

答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元．

2．构建二次函数模型解决实际问题

例2 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在它采用提高销售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每涨1元，其销售数就减少10个．问他将售出价定为多少，才能使赚得利润最大？

分析：利润＝销售总额－进货总额

解：设每件提价元(≥0)，利润为元．每天销售额为(10+)(100－10)元，进货总额为8(100－10)．显然，100－10＞0，＜10．

＝(10+)(100－10)－8(100－10)(0≤＜10)

　＝(2+)(100－10)＝－10+360

当＝4时，＝360元．

故当售出价为每件14元时，每天所赚得的利润最大为360元．

说明：画出函数＝－10+360　(0≤＜10)的图形，从图象可以看出，当提价超过4元时，利润下降，当利润下降时商人就要考虑经营的方法，不应只考虑提价，而要降价，薄利多销．

1．构建一次函数模型解决实际问题

例1 某厂在甲、乙两地的两个分厂生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运一台到A地、B地的费用分别是400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的费用分别是300元和500元．

(1)　 设从乙地要调运台至A地，求总费用关于的函数关系式；

(2)　 求若使总费用不超过9000元，问共有几种调运方案？

(3)　 求出总费用最低的调运方案及最低的费用．

　解：(1)因从乙地调运台到A地，那么需从甲地调运(10－)台至A地；由题意，从乙地调往B地为(6－)台，则从甲地调往B地应为［12－(10－)］台，即(2+)台．从而有

＝300+500(6－)+400(10－)+800(2+)

　＝200(+43)　(0≤≤6，且)

(2)当0≤≤2时，≤9000，故共有3种调运方案，总费用不超过9000元．

(3)在(1)中，当＝0时，费用最低，调运方案是：乙地6台全部调往B地，甲地调2台至B地，10台运往A地，使总费用最低为＝8600元．

3．常见的函数模型

(1)一次函数模型：；

(2)二次函数模型：；

(3)指数函数模型：；

(4)对数函数模型：；

(5)幂函数模型：

2．解决应用问题的基本步骤

　 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

　 (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

　 (3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

　 (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。

　 此四步用框图可表示为：

　 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产、生活中很多实际问题，因此学习中应注意：

1．根据实际应用问题的条件建立函数模型，并运用函数的概念和性质来解决实际问题，这类问题的建模方法有两种：一是根据几何和物理概念建立函数关系式；另一种是通过观察和实验建立函数关系式。