49．解析：要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长．由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形．同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形．分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形．所以∠P=∠G=∠H=60°．所以三角形GHP也是等边三角形．于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形．于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题．利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长．

　解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P．

　因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，

　所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．

　所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形．

　所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm．

　所以GH=8+11+6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm．

　所以六边形的周长为2+8+11+6+4+15＝46cm．

小结：本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题．

方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一．用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决．

　方程思想应用非常广泛．我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题．

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47．解析：题中告诉了我们按要求拼成．

　　 解：如图：

46．解析：我们发现1125°不能被180°整除，所以老师说少加了一个角的度数．我们可设少加的度数为x，利用整除求解．

　　 解：设少加的度数为x．

　　 则1125°＝180°×7-135°．

　　 因为0°<x<180°，

　　 所以x＝135°．

　　 所以此多边形的内角和为1125°+135°＝1260°．

　　 设多边形的边数为n，

　　 则(n－2)×180°＝1260°，解得n＝9．

　　 所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．

45．解析：要想BE与DF平行，就要找平行的条件．题中只给出了∠A＝∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．那么我们是利用同位角相等呢还是利用同旁内角互补？经过仔细观察图形我们知道∠BFD是三角形ADF的外角，则∠BFD＝∠A+∠ADF．而∠ADF是∠ADC的一半，∠ABE是∠ABC的一半，所以我们选择用同旁内角互补来证平行．

　　 解：BE与DF平行．理由如下：

　　 由n边形内角和公式可得四边形内角和为(4-2)×180°＝360°．

　　 因为∠A＝∠C=90°，

　　 所以∠ADC+∠ABC=180°．

　　 因为BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

　　 所以∠ADF＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC．

　　 因为∠BFD是三角形ADF的外角，

　　 所以∠BFD＝∠A+∠ADF．

　　 所以∠BFD+∠ABE＝∠A+∠ADC+∠ABC＝∠A+(∠ADC+∠ABC)＝90°+90°＝180°．

　　 所以BE与DF平行．

44．解析：在第(1)和第(2)问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论．在第(3)问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm，我们可以用列表法一一列出各组边长．

　　 解：(1)如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4＝8cm．三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．所以应该是底边长为4cm．所以腰长为(16-4)÷2＝6cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．

　　 (2)如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6＝4cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理．所以另外两边长分别为6cm和4cm．

　　 如果底边长为6cm，则腰长为(16-6)÷2＝5cm．三边长为6cm，5cm，5cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm．

　　 (3)因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm且是等腰三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下：

　　 7cm，7cm，2cm；6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况．

43．解析：本题要求AC与AB的边长的差，且AC与AB的长度都不知道，不少同学感到无从下手．其实，只要我们仔细分析分析题中条件：三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，即AC-AB+CD-BD=5，又AD是BC边上的中线，所以BD=CD．所以AC-AB=5．

　　 解：AC-AB=5．

42．解析：本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三边相加即可得到三角形的周长．

　　 解：由三角形面积公式可得S_△ABC＝BC×AD＝AC×BE，即16×3＝4×AC，所以AC＝12．

　　 由三角形面积公式可得S_△ABC＝BC×AD＝AB×CF，即16×3＝6×AB．

　　 所以AB＝8．

　　 所以三角形ABC的周长为16+12+8＝36．

41．解析：利用角平分线的性质解．

解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，

　　 所以∠BAD=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∠HCI=∠ACB．

　　 所以∠BAD+∠ABI+∠HCI=∠BAC+∠ABC+∠ACB＝(∠BAC+∠ABC+∠ACB)＝×180°＝90°．

　　 所以∠BAD+∠ABI＝90°－∠HCI．

　　 又因为∠BAD+∠ABI＝∠BID，90°－∠HCI＝∠CIH，

　　 所以∠BID＝∠CIH．

　　 所以∠BID和∠CIH是相等的关系．

40．解析：我们可以用字母代替甲、乙、丙、丁，用角度代表方向．把题中数据与图形一一对应，利用各方向的关系可求出丁岛分别在甲岛和乙岛的方向．

　　 解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C．如图：

　　 因为丁岛在丙岛的正北方，

　　 所以CD⊥AB．

　　 因为甲岛在丁岛的南偏西52°方向，

　　 所以∠ACD＝52°．

　　 所以∠CAD＝180°-90°-52°＝38°．

　　 所以丁岛在甲岛的东偏北38°方向．

　　 因为乙岛在丁岛的南偏东40°方向，

　　 所以∠BCD=40°．

　　 所以∠CBD＝180°-90°-40°＝50°．

　　 所以丁岛在乙岛的西偏北50°方向．