2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．

1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

4．如果△ABC的周长为40米(m)，以A，B，C三点为圆心，作三个半径为1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为l，试求l的长度．

3．在题1中，如果考虑直线l和平行四边形更一般的关系(如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线AA＇，BB＇，CC＇，DD＇只保持平行等)，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明．

2．在上题中，如果移动直线l，使它与四边形ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些(如l过A，或l交AB，BC等)，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你的猜想和证明．

1．如图2-112．已知由平行四边形ABCD各顶点向形外一条直线l作垂线，设垂足分别为A＇，B＇，C＇，D＇．求证：

＇A+B＇B=C＇C+D＇D．

2．特殊化、一般化在解题中的应用

　例1 设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且

　求证：x²y²z²w²=1

　分析与解 我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命

　(1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了．事实上，因为

　又因为

　到原命题，由

　容易想到变形

　去分母变形为

　①×②×③×④，并约去(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用x，y，z，w互不相等)就得到

x²y²z²w²=1.

　例2 设凸四边形O₁O₂O₃O₄的周长为l，以顶点O₁，O₂，O₃，O₄为圆心作四个半径为R的圆轮．如果带动四个圆轮转动的皮带长为s，求s的长度(图2-110)．

　解(1)先解一个特例(图2-111)．设只有两个圆轮⊙O₁，⊙O₂，2│O₁O₂│=l＇．显然，带动两轮转动的皮带长度为

s=l＇+2πR．

　(2)再回到原题，我们猜想：

s=l+2πR．

　以下证实这个猜想是正确的．

　为此，设皮带s与各圆轮接触的四个弧为

　由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可．

　事实上，引O₁A＇₃∥O₂A₃，由于O₁A₁∥O₂A₂，所以∠A₁O₁A＇　　　　O₁为圆心，以R为半径的圆．因此，四圆弧之长为2πR．又因为O₁O₂=A₁A₂，O₂O₃=A₃A₄，O₃O₄=A₅A₆，O₁O₄=A₇A₈，所以

l＝A₁A₂+A₃A₄+A₅A₆+A₇A₈．

　所以，所求皮带长为

s=l+2πR．

　例3 设a₁，a₂，…，a_n都是正数．试证：

　证 欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证

　把②变形为

　即证

　由于④中左边有(a₁-a₂)，(a₂-a₃)，(a₃-a₁)，其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于(a₁-a₂)，(a₂-a₃)，(a₃-a₁)之和即可．为此，我们证更简单的事实．

　设a，b是任意正整数，则有

　事实上，由(a-b)²≥0有

a²-ab≥ab-b²，

　根据⑤，④显然成立，因为

≥(a₁-a₂)+(a₂-a₃)+(a₃-a₁)≥0，

　从而③式成立，②式成立．

　剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为

练习十九

1．特殊化、一般化和类比推广

　命题1 在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高(图2-102)，则有CD²=AD·BD．

　这是大家所熟知的直角三角形射影定理．

　类比命题1，如果CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题2．

　命题2 在△ABC中，∠C=90°， CD是斜边上的中线(图2-103)，则有CD=AD=BD．

　这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理(在此定理中仍保持CD²=AD·BD)．

　再类比，如果CD是∠C的平分线，将怎样？于是得到命题3．

　命题3 在△ABC中，∠C=90°，CD是∠C的平分线(图2-104)，则有

　这是一个新命题，证明如下.

　引DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．

　因为

　所以

　我们把命题1、命题2、命题3一般化，考虑D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题．

　命题4 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一内分点(图2-105)，则有

　证 引DF⊥AC于F，DE⊥BC于E．因为

CD²-BD²＝CE²-BE²=(CE-BE)BC，

　而

　所以

　所以

　即

　命题5 在△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任一外分点(图2-106)，则有

　证 只要令命题4之结论中AD为-AD，则有

　我们再把命题4和命题5特殊化，令D点与A点重合(即│AD│=0)，那么无论是①式或②式都有

AB²=BC²+AC².

　这就是我们熟知的勾股定理．

　命题4或命题5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理．下面用命题4或命题5来证明以下定理．

　定理 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a在c上的射影为n，

　时，取“-”号，∠B为钝角时，取“+”号)．

　证 我们仅利用命题4证图2-107中的情况(∠B＜90°)．

　为此，我们作图2-109，其中∠DBA=90°，CD=x，CE⊥DB于E，并设CE=n．由命题4，立得

　得

　所以

b²=a²+c²-²cn．

　同理可证图2-108(∠B＞90°)的相应结论．

2.按如图所示的两种方式分割正方形,你能分别得到什么结论?

		a

　(1)　　　　　　　　　　　　　 (2)

1. 利用因式分解计算: