2．间接设元

　如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．

　例4 若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到(p+10)%，求p．

　分析 本题若直接设未知元为x，则不易列方程，为此，可间接设元，设进货价为x，则下降后的进货价为0.92x．由于售出价不变，它可用以下方程式表示：

x(1+p%)=0.92x[1+(10+p)%]．

　解 设原进货价为x，则下降8%后的进货价为0.92x．根据题意售货价不变，故有以下方程

x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)]，

　约去x得

1+0.01p=0.92［1+0.01(p+10)］，

　所以

1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092，

　所以

1．直接设未知元

　在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．

　例1 某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．

　分析 本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数．由已知条件易知，可直接设未参赛人数为x，那么参赛人数便是3x．于是全年级共有(x+3x)人．

　由已知，全年级人数减少6人，即(x+3x)-6， ①而未参加人数增加6人时，则参加人数是未参加人数的2倍，从而总人数为

　(x+6)+2(x+6)．②

　由①，②自然可列出方程．

　解 设未参加的学生有x人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程

(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6，

　所以

x+6+2x+12=4x-6，

　所以 3x+18=4x-6，

　所以 x=24(人)．

　所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有

3×24=72(人)．

　全年级有学生

4×24=96(人)．

　说明 本例若按所求量次序设参加人数为x人，则未参加人数为　

　例2 一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做做多少个零件？

定期是多少天？

　分析 若直接设这个工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做　　

　另一方面，如果他每天少做5个，则要增加3天工期，因此，

　显然，将此两式联立，解出x，y即可．

　解 设工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做x/y个，依分析有方程组

　整理得

　②×2+①得

　将x=50y代入②得

y=27， x=50y=1350，

　答 工人要做1350个零件，定期为27天．

　例3 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？

　解 设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有

22m+1=n(m-1)．

　所以

　因为n为自然数，所以23/m-1为整数，因此

m-1=1，或m-1=23，

　即 m=2或m=24.

　当 m=2时，n=45(不合题意，舍去)；当m=24时，n=23(符合题意)．

　所以旅客人数为：

n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．

　答 起初有汽车24辆，有乘客529人．

　注意 解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论．

3．分解因式：

　(1)(2x²-3x+1)²-22x²+33x-1；

　(2)x⁴+7x³+14x²+7x+1；

　(3)(x+y)³+2xy(1-x-y)-1；

　(4)(x+3)(x²-1)(x+5)-20．

3．分解因式：

　(1)(2x²-3x+1)²-22x²+33x-1；

　(2)x⁴+7x³+14x²+7x+1；

　(3)(x+y)³+2xy(1-x-y)-1；

　(4)(x+3)(x²-1)(x+5)-20．

第一讲 因式分解(一)

　多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

2．分解因式：

　(1)x³+3x²-4；

　(2)x⁴-11x²y²+y²；

　(3)x³+9x²+26x+24；

　(4)x⁴-12x+323．

1．分解因式：

　(2)x¹⁰+x⁵-2；

　(4)(x⁵+x⁴+x³+x²+x+1)²-x⁵．

3．换元法

　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　例6 分解因式：(x²+x+1)(x²+x+2)-12．

　分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x²+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

　解 设x²+x=y，则

　原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y-10

　　=(y-2)(y+5)=(x²+x-2)(x²+x+5)

　　=(x-1)(x+2)(x²+x+5)．

　说明 本题也可将x²+x+1看作一个整体，比如今x²+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

　例7 分解因式：

(x²+3x+2)(4x²+8x+3)-90．

　分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

　解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

　　　 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

　　　 =(2x²+5x+3)(2x²+5x+2)-90．

　令y=2x²+5x+2，则

　原式=y(y+1)-90=y²+y-90

　　=(y+10)(y-9)

　　=(2x²+5x+12)(2x²+5x-7)

　　=(2x²+5x+12)(2x+7)(x-1)．

　说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

　例8 分解因式：

(x²+4x+8)2+3x(x²+4x+8)+2x²．

　解 设x²+4x+8=y，则

　原式=y²+3xy+2x²=(y+2x)(y+x)

　　=(x²+6x+8)(x²+5x+8)

　　=(x+2)(x+4)(x²+5x+8)．

　说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

　例9 分解因式：6x⁴+7x³-36x²-7x+6．

　解法1 原式=6(x⁴+1)+7x(x²-1)-36x²

　　　　=6［(x⁴-2x²+1)+2x²］+7x(x²-1)-36x²

　　　　=6[(x²-1)2+2x²]+7x(x²-1)-36x²

　　　　=6(x²-1)²+7x(x²-1)-24x²

　　　　=[2(x²-1)-3x］［3(x²-1)+8x]

　　　　=(2x²-3x-2)(3x²+8x-3)

　　　　=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

　说明 本解法实际上是将x²-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

　解法2

　原式=x²[6(t²+2)+7t-36]

　　=x²(6t²+7t-24)=x²(2t-3)(3t+8)

　　=x²[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

　　=(2x²-3x-2)(3x²+8x-3)

　　=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

　例10 分解因式：(x²+xy+y²)-4xy(x²+y²)．

　分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

　解 原式=[(x+y)²-xy]²-4xy[(x+y)²-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

　原式=(u²-v)²-4v(u²-2v)

　　=u⁴-6u²v+9v²

　　=(u²-3v)²

　　=(x²+2xy+y²-3xy)²

　　=(x²-xy+y²)²．

练习一

2．拆项、添项法

　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　例4 分解因式：x³-9x+8．

　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

　解法1 将常数项8拆成-1+9．

　原式=x³-9x-1+9

　　=(x³-1)-9x+9

　　=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)

　　=(x-1)(x²+x-8)．

　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

　原式=x³-x-8x+8

　　=(x³-x)+(-8x+8)

　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

　　=(x-1)(x²+x-8)．

　解法3 将三次项x³拆成9x³-8x³．

　原式=9x³-8x³-9x+8

　　=(9x³-9x)+(-8x³+8)

　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x²+x+1)

　　=(x-1)(x²+x-8)．

　解法4 添加两项-x²+x²．

　原式=x³-9x+8

　　=x³-x²+x²-9x+8

　　=x²(x-1)+(x-8)(x-1)

　　=(x-1)(x²+x-8)．

　说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

　例5 分解因式：

　(1)x⁹+x⁶+x³-3；

　(2)(m²-1)(n²-1)+4mn；

　(3)(x+1)⁴+(x²-1)²+(x-1)⁴；

　(4)a³b-ab³+a²+b²+1．

　解 (1)将-3拆成-1-1-1．

　原式=x⁹+x⁶+x³-1-1-1

　　=(x⁹-1)+(x⁶-1)+(x³-1)

　　=(x³-1)(x⁶+x³+1)+(x³-1)(x³+1)+(x³-1)

　　=(x³-1)(x6+2x3+3)

　　=(x-1)(x²+x+1)(x⁶+2x³+3)．

　(2)将4mn拆成2mn+2mn．

　原式=(m²-1)(n²-1)+2mn+2mn

　　=m²n²-m²-n²+1+2mn+2mn

　　=(m²n²+2mn+1)-(m²-2mn+n²)

　　=(mn+1)²-(m-n)²

　　=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

　(3)将(x²-1)²拆成2(x²-1)²-(x²-1)²．

　原式=(x+1)⁴+2(x²-1)²-(x²-1)²+(x-1)⁴

　　=［(x+1)⁴+2(x+1)²(x-1)²+(x-1)⁴]-(x²-1)²

　　=［(x+1)²+(x-1)²]²-(x²-1)²

　　=(2x²+2)²-(x²-1)²=(3x²+1)(x²+3)．

　(4)添加两项+ab-ab．

　原式=a³b-ab³+a²+b²+1+ab-ab

　　=(a³b-ab³)+(a²-ab)+(ab+b²+1)

　　=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b²+1)

　　=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b²+1)

　　=[a(a-b)+1](ab+b²+1)

　　=(a²-ab+1)(b²+ab+1)．

　说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

1．运用公式法

　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　(1)a²-b²=(a+b)(a-b)；

　(2)a²±2ab+b²=(a±b)²；

　(3)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

　(4)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)．

　下面再补充几个常用的公式：

　(5)a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²；

　(6)a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)；

　(7)aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+…+ab^n-2+b^n-1)其中n为正整数；

　(8)aⁿ-bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…+ab^n-2-b^n-1)，其中n为偶数；

　(9)aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…-ab^n-2+b^n-1)，其中n为奇数．

　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　例1 分解因式：

　(1)-2x^5n-1yⁿ+4x^3n-1yⁿ⁺²-2x^n-1yⁿ⁺⁴；

　(2)x³-8y³-z³-6xyz；

　(3)a²+b²+c²-2bc+2ca-2ab；

　(4)a⁷-a⁵b²+a²b⁵-b⁷．

　解 (1)原式=-2x^n-1yⁿ(x⁴n-2x²ny²+y⁴)

　　　　=-2x^n-1yⁿ[(x²n)²-2x²ny²+(y²)²]

　　　　=-2x^n-1yⁿ(x²n-y²)²

　　　　=-2x^n-1yⁿ(xⁿ-y)²(xⁿ+y)²．

　(2)原式=x³+(-2y)³+(-z)³-3x(-2y)(-Z)

　　　 =(x-2y-z)(x²+4y²+z²+2xy+xz-2yz)．

　(3)原式=(a²-2ab+b²)+(-2bc+2ca)+c²

　　　＝(a-b)²+2c(a-b)+c²

　　　=(a-b+c)²．

　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

　原式=a²+(-b)²+c²+2(-b)c+2ca+2a(-b)

　　=(a-b+c)²

　(4)原式=(a⁷-a⁵b²)+(a²b⁵-b⁷)

　　　 =a⁵(a²-b²)+b⁵(a²-b²)

　　　 =(a²-b²)(a⁵+b⁵)

　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

　　　 =(a+b)²(a-b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

　例2 分解因式：a³+b³+c³-3abc．

　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

　分析 我们已经知道公式

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

　的正确性，现将此公式变形为

a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)．

　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　解 原式=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc

　　　 =［(a+b)3+c³］-3ab(a+b+c)

　　　 =(a+b+c)［(a+b)²-c(a+b)+c²]-3ab(a+b+c)

　　　 =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)．

　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

　a³+b³+c³-3abc

　显然，当a+b+c=0时，则a³+b³+c³=3abc；当a+b+c＞0时，则a³+b³+c³-3abc≥0，即a³+b³+c³≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　如果令x=a³≥0，y=b³≥0，z=c³≥0，则有

　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

　例3 分解因式：x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…+x²+x+1．

　分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x¹⁵开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式aⁿ-bⁿ来分解．

　解 因为

　x¹⁶-1=(x-1)(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…x²+x+1)，

　所以

　说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

3．用待定系数法分解因式：

　(1)2x²+3xy-9y²+14x-3y+20；

　(2)x⁴+5x³+15x-9．