6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③△EPF是等腰直角三角形；④∠AEP=∠AGF．其中正确的结论有（　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

　

5．如图，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交 CD于F，下列结论：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，则CF=DF．其中正确的有（　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

②③④

　

4．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④ =1．其中正确的是（　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

①②③④

　

3．如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：

①AG=CE　　　　 ②DG=DE

③BG﹣AC=CE　　　 ④S_△BDG﹣S_△CDE= S_△ABC

其中总是成立的是（　）

A．

①②③

B．

①②③④

C．

②③④

D．

①②④

　

2．如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（　）

A．

PB=PC

B．

PA=PD

C．

∠BPC=90°

D．

∠APB=∠DPC

　

一．选择题

1．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S_△ABC=S_{四边形AOCP}．其中正确的有（　）个．

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

①②③④

　

20.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，22) 选修4—1：几何证明选讲．

如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆

的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线

于点，过点作圆的切线，切点为.

（1）求证：四点共圆；（2）若, 求的长.

[解析] 20.　 （1）证明：连结，∵是圆的直径，

∴，

在和中，

又∵ ∴

∴四点共圆。

（2）∵四点共圆，∴

∵是圆的切线，∴ ∴

又因为 ∴

∴.

答案和解析

理数

[答案] 1. 　

[解析] 1. 　在Rt△ABC中，, 解得; 同理可得, 由射影定理可得，得. 根据割线定理可得, 得, 所以.

[答案] 2.　 15

[解析] 2.　 根据相交弦定理可得，结合条件可得DT=9. 根据切割线定理可得①. 在Rt△DTP中，②. ①②联立得PB=15.

[答案] 3.　

[解析] 3.　 根据切割线定理可得, 得. 连接OC, 在Rt△OCP中, 根据射影定理可得PC²= , 得PD=3, 又因为CD²=, 所以CD的长为.

[答案] 4.6

[解析] 4.由割线定理得，

所以，解得或（舍去），

由～，所以，所以，解得.

[答案] 5.　

[解析] 5.　 因为为圆的切线，由弦切角定理，则，

又因为平分，则，

所以，

根据三角形外角定理，，

因为是圆的直径，则，所以是等腰直角三角形，

所以.

[答案] 6.①②

[解析] 6. 　如图，, ，所以③错，所以正确的序号为①②.

范围.

[答案] 7.1　

[解析] 7.　 由已知可得，，，由相交弦定理得：，所以

[答案] 8.7

[解析] 8.由题意可得：, 又因为，，所以，. 从而。由切割线定理可得，所以. 再由相交弦定理，所以. 故直径，从而半径为7.

[答案] 9.

[解析] 9.　 依题意，由切割线定理，所以，即，所以圆的半径，由为切线，所以，所以，又弦于点，所以.

[答案] 10. 　

[解析] 10. 　根据切割线定理可得，代入数据得EB=5. 因为AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因为EA是切线，根据同弧对应的圆周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠EAB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因为BE//AC，所以四边形ACBE为平行四边形，所以AC=EB=5，BC=EA=. 因为AC//BD，所以可得弧AB与弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得，代入数据得.

[答案] 11.　

[解析] 11.　 延长，又，所以.

[答案] 12.查看解析

[解析] 12.（1）延长交圆于点，连结，

则，

又，所以，

又可知，所以

根据切割线定理得，即.

⑾证明：过作于，则，

　 　 　 　 　 　从而有，又由题意知

所以，因此，即

[答案] 13.查看解析

[解析] 13.

[答案] 14.查看解析

[解析] 14.（Ⅰ）因为为圆一条直径，所以，又，

故、、、四点在以为直径的圆上，

所以，、、、四点共圆. （4分）

（Ⅱ）因为与圆相切于点，由切割线定理得

, 即，，

所以

又,

则,　 得，

连接, 由（1）可知为的外接圆直径，

, 故的外接圆半径为. （10分）

[答案] 15.查看解析

[解析] 15.（Ⅰ）连结，则. 由射影定理得，

由切割线定理得，故，即，

又，所以～，所以.

因此，，，四点共圆.　　　　　　　　（6分）

（Ⅱ）连结. 因为，结合（Ⅰ）得

.　　（10分）

[答案] 16.查看解析

[解析] 16.（Ⅰ）连结，因为为圆的直径，

所以，又，

则四点共圆，

所以. 　 　 (5分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，连结，

又∽，所以

即，

所以. （10分）

[答案] 17.查看解析

[解析] 17.（Ⅰ）连结，则，，，

所以，所以，

所以四点共圆. （5分）

（Ⅱ）因为，则，

又为的三等分点，，，

又因为，所以，. （10分）

[答案] 18.查看解析

[解析] 18.22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC　 …………………2分

∴OD//AE　 又AE⊥DE　　　 …………………………………3分

∴OE⊥OD，又OD为半径　

∴DE是的⊙O切线　　　 ………………………5分

　 （II）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

　 …………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，

　　

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x　……………8分

又由△AEF∽△DOF　 可得

　　　 ……………………………………………………10分

[答案] 19.查看解析

[解析] 19.

[答案] 20.查看解析

[解析] 20.　 （1）证明：连结，∵是圆的直径，

∴，

在和中，

又∵ ∴

∴四点共圆。

（2）∵四点共圆，∴

∵是圆的切线，∴ ∴

又因为 ∴

∴.

　

19.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 22) 选修4-1: 几何证明选讲．

　 　如图，AB是的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是的割线, AC =AB，CE交于点G．

　 　(I) 证明：；

　 (Ⅱ) 证明：FG//AC.

[解析] 19.

18.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，22）选修4—1几何证明选讲: 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。

　 （I）求证：DE是⊙O的切线；

　 （II）若的值.

[解析] 18.22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC　 …………………2分

∴OD//AE　 又AE⊥DE　　　 …………………………………3分

∴OE⊥OD，又OD为半径　

∴DE是的⊙O切线　　　 ………………………5分

　 （II）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

　 …………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，

　　

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x　……………8分

又由△AEF∽△DOF　 可得

　　　 ……………………………………………………10分

17. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，22) 选修4-1：几何证明选讲

如图，是的⊙直径，与⊙相切于，为线段上一点，连接、

分别交⊙于、两点，连接交于点.

　 （Ⅰ）求证：、、、四点共圆.

　 （Ⅱ）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长.

[解析] 17.（Ⅰ）连结，则，，，

所以，所以，

所以四点共圆. （5分）

（Ⅱ）因为，则，

又为的三等分点，，，

又因为，所以，. （10分）