18.(2014湖北武汉高三2月调研测试，22)

（Ⅰ）已知函数f(x) ＝e^x－1－tx，∃x₀∈R，使f(x₀) ≤0，求实数t的取值范围；

[解析] 18.（Ⅰ）

若t＝0，f (x) ＝e^x－1＞0，不合题意；

若t＞0，只需f(x) _min≤0．

求导数，得f ′(x) ＝e^x－1－t．

令f ′(x) ＝0，解得x＝lnt＋1．

当x＜lnt＋1时，f ′(x) ＜0，∴f(x) 在(－∞，lnt＋1) 上是减函数；

当x＞lnt＋1时，f ′(x) ＞0，∴f(x) 在(lnt＋1，＋∞) 上是增函数．

故f(x) 在x＝lnt＋1处取得最小值f(lnt＋1) ＝t－t(lnt＋1) ＝－tlnt．

∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．

综上可知，实数t的取值范围为(－∞，0) ∪[1，+∞) ．…………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x) ≥f(lnt＋1) ，即e^x－1－tx≥－tlnt．

取t＝1，e^x－1－x≥0，即x≤e^x－1．

当x＞0时，lnx≤x－1，当且仅当x＝1时，等号成立，

故当x＞0且x≠1时，有lnx＜x－1．

17.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，21）已知函数．

（1）当时，证明对任意的；

（2）求证：．

（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

[解析] 17.（2）根据（1）的结论，当时，，即．

令，则有，　　　 ………………………7分

．即 ．…8分

(本问也可用数学归纳法证明.)

③当时，，设的两根分别为与，

则，，不妨设

当及时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

而

所以时，，且

因此函数在有一个零点，而在上无零点；

此时函数只有一个零点；

综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………14分

16. (2014北京东城高三第二学期教学检测，20) 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.

（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：.

[解析] 16.（Ⅰ）由条件得，

由此可得.

猜测. （4分）

用数学归纳法证明：

①当时，由上可得结论成立.

②假设当时，结论成立，即，

那么当时，

.

所以当时，结论也成立.

由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）

（Ⅱ）因为.

当时，由（Ⅰ）知.

所以

.

综上所述，原不等式成立. (12分）

15.（2013安徽，14,5分）如图, 互不相同的点A₁, A₂, …, A_n, …和B₁, B₂, …, B_n, …分别在角O的两条边上, 所有A_nB_n相互平行, 且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等. 设OA_n=a_n. 若a₁=1, a₂=2, 则数列{a_n}的通项公式是　　.　

[解析] 15.记△OA₁B₁的面积为S, 则△OA₂B₂的面积为4S.

从而四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均为3S.

即得△OA_nB_n的面积为S+3(n-1) S=(3n-2) S.

∴=3n-2, 即a_n=.

14.（2013安徽，15,5分）如图, 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1, P为BC的中点, Q为线段CC₁上的动点, 过点A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S. 则下列命题正确的是　　(写出所有正确命题的编号).　

①当0< CQ< 时, S为四边形

②当CQ=时, S为等腰梯形

③当CQ=时, S与C₁D₁的交点R满足C₁R=

④当< CQ< 1时, S为六边形

⑤当CQ=1时, S的面积为

[解析] 14.过A作AM∥PQ交DD₁或A₁D₁于M.

当0< CQ< 时, M在DD₁上, 连MQ, 则截面为AMQP, 故①正确.

当CQ=时, M与D₁重合, 截面为AD₁QP, 显然为等腰梯形, ②正确.

当CQ=时, M在A₁D₁上, 且D₁M=.

过M作MR∥AP交C₁D₁于R, 则△MD₁R∽△PBA, 从而D₁R=, 即C₁R=, 故③正确.

当< CQ< 1时, 截面为AMRQP, 为五边形, 即④错误.

当CQ=1时, M为A₁D₁的中点, 截面AMC₁P为菱形, 而AC₁=, PM=, 故面积为××=, ⑤正确.

13.（2013陕西，14,5分）观察下列等式

1²=1

1²-2²=-3

1²-2²+3²=6

1²-2²+3²-4²=-10

……

照此规律, 第n个等式可为　　　　.　

[解析] 13.左边为平方项的(-1) ^n-1倍的和, 右边为(1+2+3+…+n) 的(-1) ^n-1倍. 再用数学归纳法证明成立.

12.（2013湖北，14,5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3, 6,10, …, 第n个三角形数为=n²+n. 记第n个k边形数为N(n, k) (k≥3), 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

三角形数　　N(n, 3) =n²+n,

正方形数　N(n, 4) =n²,

五边形数　N(n, 5) =n²-n,

六边形数　N(n, 6) =2n²-n,

……

可以推测N(n, k) 的表达式, 由此计算N(10,24) =　　.　

[解析] 12.由N(n, 3) =n²+n,

N(n, 4) =n²+n,

N(n, 5) =+n,

N(n, 6) =n²+n,

推测N(n, k) =n²-n, k≥3.

从而N(n, 24) =11n²-10n, N(10,24) =1 000.

11.（2013四川，15,5分）设P₁, P₂, …, P_n为平面α内的n个点. 在平面α内的所有点中, 若点P到点P₁, P₂, …, P_n的距离之和最小, 则称点P为点P₁, P₂, …, P_n的一个“中位点”. 例如, 线段AB上的任意点都是端点A, B的中位点. 现有下列命题:

①若三个点A, B, C共线, C在线段AB上, 则C是A, B, C的中位点;

②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;

③若四个点A, B, C, D共线, 则它们的中位点存在且唯一;

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

其中的真命题是　　. (写出所有真命题的序号)　

[解析] 11.对①, 不妨设P为平面内任一点, ∴|PA|+|PB|≥|AB|=|AC|+|CB|. 故C是A, B, C的中位点. 对②, 设C是Rt△ABC的直角顶点, 斜边AB的中点为D. 于是|DA|+|DB|+|DC|=3|DC|. 但|CA|+|CB|≤·2=2|DC|< 3|DC|, 故D不是A, B, C的中位点. 对③, 不妨设A、B、C、D是顺次的四个点, P是平面内任一点, 点O为P在直线AB上的射影, ∴|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|OA|+|OB|+|OC|+|OD|≥2|BC|+|CD|+|AB|. 由P的任意性知, 只要O点落在线段BC上即可, ③错. 对④, 设梯形ABCD的对角线AC, BD相交于O点, 由于|PA|+|PC|≥|AC|, |PB|+|PD|≥|BD|.

∴|PA|+|PC|+|PB|+|PD|≥|AC|+|BD|=|AO|+|OB|+|OC|+|OD|, 即O为该梯形四个顶点的唯一的中位点.

10.(2014湖北武汉高三2月调研测试，13) 如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n) ，则

（Ⅰ）f(5) ＝ 　 　 ；

（Ⅱ）f(n) ＝　 　．

[解析] 10.　 （1）

（2）

＝

9.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，11）观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为　 ．

[解析] 9.　 观察可得不等式左边的分母被开方数满足6－2、12－6成等差数列，不等式右边1,2, 3也成等差数列，所以第5个不等式为.