16. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 22) [选修4－1：几何证明选讲]

如图，是圆的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点.

（Ⅰ）求证：；

(Ⅱ) 求证：.

[解析] 16.（Ⅰ）连结，因为为圆的直径，

所以，又，

则四点共圆，

所以. 　 　 (5分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，连结，

又∽，所以

即，

所以. （10分）

15. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，22) 选修4―1: 几何证明选讲

如图，是圆的切线，是切点，于，过点的割线交圆于、两点.

　 　（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；

　 　（Ⅱ）设，，求的大小.

[解析] 15.（Ⅰ）连结，则. 由射影定理得，

由切割线定理得，故，即，

又，所以～，所以.

因此，，，四点共圆.　　　　　　　　（6分）

（Ⅱ）连结. 因为，结合（Ⅰ）得

.　　（10分）

14. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），22) 选修4—1：几何证明选讲：如图，已知为圆的一条直径，以端点为圆心的圆交直线于、两点，交圆于、两点，过点作垂直于的直线，交直线于点.

（Ⅰ）求证：、、、四点共圆；

（Ⅱ）若，, 求外接圆的半径.

[解析] 14.（Ⅰ）因为为圆一条直径，所以，又，

故、、、四点在以为直径的圆上，

所以，、、、四点共圆. （4分）

（Ⅱ）因为与圆相切于点，由切割线定理得

, 即，，

所以

又,

则,　 得，

连接, 由（1）可知为的外接圆直径，

, 故的外接圆半径为. （10分）

13. (2014山西太原高三模拟考试（一），22) 选修4一1：几何证明选讲

　 　如图，已知PA与⊙O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E.

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED； （Ⅱ）若AC=AP，求的值.

[解析] 13.

12. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，22) 选修4-1：几何证明选讲　　　　　　

　　 如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为2，

（1）求的长；

（2）求证：.　　　　　　

[解析] 12.（1）延长交圆于点，连结，

则，

又，所以，

又可知，所以

根据切割线定理得，即.

⑾证明：过作于，则，

　 　 　 　 　 　从而有，又由题意知

所以，因此，即

11. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，14) 如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，，若，，则　　　　　 .

[解析] 11.　 延长，又，所以.

10.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，15）（选修4-1：几何证明选讲）

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点A 作圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，AE = ， BD = 4，则线段CF的长为______．

[解析] 10. 　根据切割线定理可得，代入数据得EB=5. 因为AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因为EA是切线，根据同弧对应的圆周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠EAB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因为BE//AC，所以四边形ACBE为平行四边形，所以AC=EB=5，BC=EA=. 因为AC//BD，所以可得弧AB与弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得，代入数据得.

9. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，16) 如图，切⊙O于点，割线经过圆心，弦于点，，则_________.

[解析] 9.　 依题意，由切割线定理，所以，即，所以圆的半径，由为切线，所以，所以，又弦于点，所以.

8. (2014北京东城高三第二学期教学检测，10) 如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点. 已知∠=，，, 则圆的半径等于_______.

[解析] 8.由题意可得：, 又因为，，所以，. 从而。由切割线定理可得，所以. 再由相交弦定理，所以. 故直径，从而半径为7.

7. (2014广东广州高三调研测试，14) （几何证明选讲选做题）

如图4，为⊙的直径，，弦交于点. 若，，则的长为_______.

[解析] 7.　 由已知可得，，，由相交弦定理得：，所以