1．认知目标

6. 法向量: 若, 那么叫做平面的法向量.

例1 已知向量、是平面内两个非零向量, 非零向量在直线上, 则是的(　　 )

　 A. 充分非必要条件　 B. 必要非充分条件　 C. 充要条件　 D. 既非充分条件又非必要条件

例2 已知、、为空间三点. (1)求以、为边的平行四边形的面积; (2)若 且分别与、垂直, 求向量的坐标.

例3 如图, 考虑平行六面体, 其面与是正方形, 面是菱形,且, 设平行六面体各棱长均为1, 那么, 　　　　, 　　　. 设是在之间的常数. 是分成2:1的分点, 是分成的分点, 那么, 　　　　　　　　. 当　　　　 时, 的长度达到最小值为　　　　 .(1998年日本高考题)

例4 如图, 在四边形中, 、分别为、的中点, 试证: .

例5 如图, 在空间四边形中, 、为其对角线, 为的重心, 试证: (1); (2).

例6 如图, 为平行四边形外的一点,为平行四边形对角线的交点, 求证: .

例7 如图, 在平行六面体-中, 为底面对角线的交点, 为体对角线上一点, 且, 设, 试用表示与.

例8 如图, 为所在平面外一点, 、分别为、的重心, 若为上一点, 且, 设. 试用表示、.

例9 下列向量中为单位向量的是(　　 )

　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

例10 在下列结论中, 正确的共有(　　 )

　 ①同一平面的不同的法向量共线; ②若是平面的法向量, 是平面内任一向量, 则; ③若非零向量、均在平面内, 且, 则是平面的法向量.

　 A. 0个　　 B. 1个　　 C. 2个　　 D. 3个

5. 空间向量的坐标运算

　 (1)设, 则

　 (2)设, 则

(3)设,则,

,设,

则.

(4)设是不同的两点, 若, 则点的坐标为我们称点是分有向线段为的点, 并称为空间定比分点公式. 当时, 点为线段的中点, 这时点的坐标为, 这就是中点坐标公式. 用空间定比分点公式可得的重心的坐标为. 其中.

4. 空间向量的数量积满足如下运算律

　 (1); (2); (3)

3. 空间向量的数量积

　 空间向量的数量积与平面向量的数量积完全一致.

　 设、是空间任意两个向量, 则称为向量、的数量积. 记作. 其中为向量、的夹角. 规定: 零向量与任意向量的数量积为0.

2. 空间向量的垂直

　 如果两个向量、的夹角为时, 称向量、互相垂直. 记作: .

1. 空间向量的夹角

　 设、是空间两个非零向量, 在空间任取一点, 作向量, 则称为向量、的夹角, 用表示. 、的夹角. 当时, 、同向; 当时, 、方向相反.

5. 已知∆ ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，若实数满足

，则值为(　 　C　 ) .

　　 A． 2　　 　　　　 　　B．　　 　　　 　　　　　C．3 　　 　　　　　　　D． 6

4. 已知四边形是菱形，点在对角线上，则(　　 A　　 ).

3. 为非零向量，则下列条件中，为共线的充分条件的是(　　 A　　 ).

① 且 ；　　　 ② 存在相异的实数，使 ；

③ 且为梯形 ；　 ④ 是表示平面内所有向量的一组基底 .

　①②　　　　　　 　①③　　　　　 　②④　　　　　　　 　③④